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Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe Teil B 1h  (4 BE)
Die als Kurvenlänge L a ; b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten ( a | f ( a ) ) und ( b | f ( b ) ) mit a < b lässt sich mithilfe der Formel L a ; b = a b 1 + [ f ( x ) ] 2  dx berechnen.
Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L 0 ; b des Graphen von f zwischen den Punkten ( 0 | f ( 0 ) ) und ( b | f ( b ) ) mit b > 0 .

[Ergebnis: L 0 ; b = e 1 2 b - e - 1 2 b ]
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1h

Bestimmtes Integral



Aussage aus Teilaufgabe 1g: 1 4 [ f ( x ) ] 2 - [ f ( x ) ] 2 = 1

Umstellen: 1 4 [ f ( x ) ] 2 = 1 + [ f ( x ) ] 2


L 0 ; b = 0 b 1 + [ f ( x ) ] 2  dx
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L 0 ; b = 0 b 1 4 [ f ( x ) ] 2  dx
L 0 ; b = 0 b 1 2 f ( x )  dx

L 0 ; b = 0 b 1 2 ( e 1 2 x + e - 1 2 x )  dx = 0 b 1 2 e 1 2 x + 1 2 e - 1 2 x  dx
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L 0 ; b = 0 b 1 2 e 1 2 x  dx + 0 b 1 2 e - 1 2 x  dx
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L 0 ; b = 0 b 1 2 e 1 2 x  dx - 0 b - 1 2 e - 1 2 x  dx
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L 0 ; b = [ e 1 2 x ] 0 b - [ e - 1 2 x ] 0 b
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L 0 ; b = ( e 1 2 b - e 0 = 1 ) - ( e - 1 2 b - e 0 = 1 )

L 0 ; b = e 1 2 b - e - 1 2 b