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Abitur 2009 Mathematik GK Stochastik III

Teilaufgabe 1  (5 BE)

Anlässlich einer Studie wurden 2000 Jugendliche im Alter von 18 Jahren zu ihren Ernährungsgewohnheiten befragt. Von den Befragten gaben 740 an, am Morgen nicht zu frühstücken. Von diesen 740 "Nichtfrühstückern" waren 420 berufstätig. Unter den 1260 "Frühstückern" waren 800 nicht berufstätig. Aus den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse F : "Die Person frühstückt am Morgen" und B : "Die Person ist berufstätig" stochastisch abhängig sind.

Das Unternehmen "Müsli-4-U" bietet über das Internet individuell zusammenstellbare Müslipackungen an.
Für die Zusammenstellung kann aus 2 Basismischungen sowie aus 9 Frucht-, 4 Nuss- und 3 Getreidezusätzen gewählt werden.
Teilaufgabe 2  (3 BE)

Wie viele verschiedene Müslipackungen können zusammengestellt werden, wenn jede genau eine Basismischung und genau 4 verschiedene Zusätze enthalten soll?

Im Rahmen einer Aktion "Gesundes Frühstück" konnte "Müsli-4-U" an einem Gymnasium als Kooperationspartner gewonnen werden. Der Kooperationspartner liefert jeder Klasse täglich eine Gratis-Packung Müsli, das aus genau einer Basismischung und genau 2 Zusätzen zusammengestellt wird. Die beiden Zusätze stammen dabei jeweils aus zwei verschiedenen der Bereiche "Früchte", "Nüsse" beziehungsweise "Getreide".
Teilaufgabe 3a  (3 BE)

Bestätigen Sie durch Rechnung, dass es 150 verschiedene Möglichkeiten gibt, eine solche Gratis-Packung zusammenzustellen.

Im Folgenden wird angenommen, dass jede dieser 150 Möglichkeiten gleich wahrscheinlich ist und die Lieferung der einzelnen Packungen unabhängig voneinander erfolgt.
Teilaufgabe 3b  (3 BE)

Es gibt Schüler, die aufgrund einer Allergie keine Nüsse essen dürfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Gratis-Packung keinen Nusszusatz enthält.

[Ergebnis: 36 % ]

Teilaufgabe 3c  (4 BE)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Klasse 8a an mindestens 4 von 5 Tagen einer Schulwoche die gelieferte Gratis-Packung keinen Nusszusatz enthält.

Teilaufgabe 3d  (3 BE)

Formulieren Sie ein zum Sachzusammenhang der Teilaufgabe 3c passendes Ereignis D , das die Wahrscheinlichkeit P ( D ) = 0 , 36 2 ( 3 2 ) 0 , 36 2 0 , 64 besitzt.

Teilaufgabe 3e  (5 BE)

Wie viele Gratis-Packungen müssen mindestens zusammengestellt werden, damit mit mehr als 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens eine Packung ohne Nusszusatz dabei ist?

Teilaufgabe 3f  (5 BE)

Das Unternehmen "Müsli-4-U" möchte bei seinen Produkten den Geschmack von Jugendlichen stärker berücksichtigen. Es vermutet, dass mindestens 50 % der Jugendlichen ein Müsli ohne Nusszusatz bevorzugen. Um diese Vermutung zu testen, werden 100 zufällig ausgewählte Jugendliche befragt. Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung des Unternehmens mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 10 % irrtümlicherweise verworfen werden soll?

Den über das Internet bei "Müsli-4-U" bestellten Müslipackungen wird jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p ein Gutschein beigelegt.
Teilaufgabe 4a  (3 BE)

Zeigen Sie:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in genau 4 von 6 über das Internet bestellten Packungen jeweils ein Gutschein befindet, kann durch eine Funktion f mit dem Term f ( p ) = 15 ( p 6 - 2 p 5 + p 4 ) , p [ 0 ; 1 ] , beschrieben werden.

Teilaufgabe 4b  (6 BE)

Bestimmen Sie die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion f aus Teilaufgabe 4a. Interpretieren Sie jede dieser Nullstellen im Anwendungszusammenhang.

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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