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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Stochastik III


 
Teilaufgabe 4b  (6 BE)
Bestimmen Sie die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion f aus Teilaufgabe 4a. Interpretieren Sie jede dieser Nullstellen im Anwendungszusammenhang.
 
Lösung zu Teilaufgabe 4b

Erste Ableitung einer Funktion ermittlen



f ( p ) = 15 ( p 6 - 2 p 5 + p 4 )

Erste Ableitung bestimmen:

f ( p ) = [ 15 ( p 6 - 2 p 5 + p 4 ) ]

= 15 ( 6 p 5 - 10 p 4 + 4 p 3 )

= 15 2 p 3 ( 3 p 2 - 5 p + 2 )
Nullstellen einer Funktion



Erste Ableitung Null setzen:

f ( p ) = 0

15 2 p 3 ( 3 p 2 - 5 p + 2 ) = 0

15 2 p 3 = 0 p 1 = 0

3 p 2 - 5 p + 2 = 0 p 2 , 3 = 5 ± 25 - 24 6 = 5 ± 1 6 p 2 = 2 3 , p 3 = 1

Die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion f lauten: p 1 = 0 , p 2 = 2 3 und p 3 = 1
Anwendungszusammenhang



Interpretation:

Die Funktion f hat an der Stelle p 1 = 0 und p 3 = 1 eine Nullstelle und jeweils ein Minimum. An der Stelle p 3 = 2 3 hat sie ein Maximum.

Bemerkung:

p 1 = 0 bedeutet, dass das Unternehmen nie ein Gutschein beifügt.
p 3 = 1 bedeutet, dass das Unternehmen immer ein Gutschein beifügt.

In beiden Fällen würde das Ereignis aus Teilaufgabe 4a) nie stattfinden.

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