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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1b  (6 BE)
Bestimmen Sie Art und Lage des Extrempunkts von G f und ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an G f im Punkt P ( 0 | f ( 0 ) ) .
[Zur Kontrolle: f ′ ( x ) = ( 1 - x ) ⋅ e 2 - x ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Art von Extrempunkten ermitteln



f ( x ) = x ⋅ e 2 - x , D f = ℝ

Erste Ableitung bilden:

f ′ ( x ) = ( x ⋅ e 2 - x ) ′
Schritt einblenden / ausblenden
= 1 ⋅ e 2 - x + x ⋅ ( e 2 - x ) ′
Schritt einblenden / ausblenden
= e 2 - x + x ⋅ e 2 - x ⋅ ( - 1 )

= e 2 - x - x ⋅ e 2 - x

= ( 1 - x ) ⋅ e 2 - x
Erste Ableitung Null setzen: f ′ ( x ) = 0

( 1 - x ) ⋅ e 2 - x = 0
Schritt einblenden / ausblenden
1 - x = 0

⇒ x E = 1
Schritt einblenden / ausblenden
Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen:

f ′ ( x ) > 0

( 1 - x ) ⋅ e 2 - x > 0
Schritt einblenden / ausblenden
1 - x > 0

⇒ x < 1

Die Funktion ist für x < 1 streng monoton steigend.



f ′ ( x ) < 0

( 1 - x ) ⋅ e 2 - x < 0
Schritt einblenden / ausblenden
1 - x < 0

⇒ x > 1

Die Funktion ist für x > 1 streng monoton fallend.
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ Die Funktion hat an der Stelle x E = 1 ein Maximum.
Lage von Extrempunkten ermitteln



y -Koordinate des Extrempunktes bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
y E = f ( x E )

= f ( 1 )

= 1 ⋅ e 2 - 1

= e


⇒ E ( 1 | e ) Maximum
Tangentengleichung ermitteln



f ( 0 ) = 0 ⇒ P ( 0 | 0 )

Steigung m der Tangente t bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
m = f ′ ( 0 ) = ( 1 - 0 ) ⋅ e 2 - 0 = e 2

Tangentengleichung:
Schritt einblenden / ausblenden
t : y = ( x - 0 ) ⋅ e 2 + 0

t : y = x ⋅ e 2

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