Teilaufgabe 1b (6 BE)
Bestimmen Sie Art und Lage des Extrempunkts von und ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an im Punkt .
[Zur Kontrolle: ]
Art von Extrempunkten ermitteln
Erste Ableitung bilden:
Produktregel der Differenzialrechnung
In diesem Fall ist:
und
Somit ist:
und
Bei der Ableitung von
wendet man die Kettenregel an (wird unten noch erläutert)
Kettenregel der Differenzialrechnung
Angewendet auf eine Exponentialfunktion:
In diesem Fall ist:
Somit ist:
Erste Ableitung Null setzen:
Wertebereich der Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion
ist auf ganz
positiv, d.h.:
für alle
Das Produkt
ist nur dann Null, wenn
ist.
Bedingungen für ein Extremum
Folgende Bedingungen müssen für ein Extremum erfüllt sein:
und
oder
und Vorzeichenwechsel in
bei
Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen:
Wertebereich der Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion
ist auf ganz
positiv, d.h.:
für alle
Das Produkt
ist dann positiv, wenn
ist.
Die Funktion ist für streng monoton steigend.
Wertebereich der Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion
ist auf ganz
positiv, d.h.:
für alle
Das Produkt
ist dann negativ, wenn
ist.
Die Funktion ist für streng monoton fallend.
Vorzeichenwechsel
Bei
ist der Vorzeichenwechsel von "+" nach "-".
Die Funktion hat an der Stelle
ein Maximum.
Die Funktion hat an der Stelle ein Maximum.
Lage von Extrempunkten ermitteln
-Koordinate des Extrempunktes bestimmen:
Einsetzen
Die
-Koordinate des Extrempunktes wird in die Funktionsgleichung eingesetzt.
Maximum
Tangentengleichung ermitteln
Steigung der Tangente bestimmen:
Erste Ableitung
Die Steigung der Tangente in einem Punkt
ist gleich dem Wert der ersten Ableitung im Punkt
.
Tangentengleichung:
Gleichung der Tangente
Die Gleichung der Tangente im Punkt
ist gegeben durch:
In diesem Fall ist
und
Somit lautet die Gleichung der Tangente: