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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 2b  (6 BE)
Betrachtet wird die Integralfunktion I : x ↦ ∫ 0 x f ( t ) d t für x ∈ ℝ .
Bestimmen Sie ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung der Funktion I Art und Lage des Extrempunkts des Graphen von I . Skizzieren Sie unter Einbeziehung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere auch der Näherungswerte aus Teilaufgabe 2a, den Graphen von I in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1d.
 
Lösung zu Teilaufgabe 2b

Art und Lage des Extrempunkts einer Integralfunktion



I ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t mit x ∈ ℝ

Erste Ableitung bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
I ′ ( x ) = f ( x )

Erste Ableitung Null setzen:

I ′ ( x ) = 0 ⇔ f ( x ) = 0

⇒ x M = 0 (siehe Teilaufgabe 1a)
Schritt einblenden / ausblenden
Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen:

I ′ ( x ) > 0 ⇔ f ( x ) > 0
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ x > 0

Die Funktion I ( x ) ist für x > 0 streng monoton steigend.
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ x < 0

Die Funktion I ( x ) ist für x < 0 streng monoton fallend.
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ Die Funktion I ( x ) hat an der Stelle x M = 0 ein Minimum.

y -koordinate des Extrempunktes bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
y M = I ( x M ) = I ( 0 ) = ∫ 0 0 f ( t ) d t = 0

⇒ M ( 0 | 0 ) Minimum
Skizze



Aus Teilaufgabe 2a:

I ( 1 ) = ∫ 0 1 f ( x ) d x ≈ 1 , 36

I ( 5 ) = ∫ 0 5 f ( x ) = ∫ 0 1 f ( x ) + ∫ 1 5 f ( x ) ≈ 1 , 36 + 6 = 7 , 36





Bemerkung:

Die durchgezogene blaue Linie stellt den tatsächlichen Graphen der Integralfunktion dar. Die gestrichelte Linie stellt ein Teil des Graphen der Integralfunktion dar, der in der Aufgabe gezeichnet wird wenn man die Ergebnisse aus Teilaufgabe 2a berücksichtig

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