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Abitur 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion f : x ↦ x ⋅ e 2 - x mit dem Definitionsbereich D f = ℝ . Ihr Graph wird mit G f bezeichnet.
Teilaufgabe 1a  (3 BE)

Geben Sie die Nullstelle von f an und untersuchen Sie das Verhalten von f für x → - ∞ und x → + ∞ .

Teilaufgabe 1b  (6 BE)

Bestimmen Sie Art und Lage des Extrempunkts von G f und ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an G f im Punkt P ( 0 | f ( 0 ) ) .
[Zur Kontrolle: f ′ ( x ) = ( 1 - x ) ⋅ e 2 - x ]

Teilaufgabe 1c  (4 BE)

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von G f . Geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts von G f an.

Teilaufgabe 1d  (5 BE)

Berechnen Sie f ( - 0 , 5 ) und f ( 5 ) . Zeichnen Sie die Tangente t und den
Graphen G f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein
Koordinatensystem ein.
(Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: - 7 ≤ y ≤ 9 )

Teilaufgabe 2a  (4 BE)

Ermitteln Sie durch Betrachtung einer jeweils geeigneten Dreiecks- oder Trapezfläche grobe Näherungswerte für ∫ 0 1 f ( x ) d x und ∫ 1 5 f ( x ) d x .

Teilaufgabe 2b  (6 BE)

Betrachtet wird die Integralfunktion I : x ↦ ∫ 0 x f ( t ) d t für x ∈ ℝ .
Bestimmen Sie ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung der Funktion I Art und Lage des Extrempunkts des Graphen von I . Skizzieren Sie unter Einbeziehung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere auch der Näherungswerte aus Teilaufgabe 2a, den Graphen von I in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe 1d.

Gegeben ist nun zusätzlich die Schar der Geraden g a mit den Gleichungen y = a x , a ∈ ℝ , und Definitionsbereich D a = ℝ .
Teilaufgabe 3a  (4 BE)

Jede Gerade g a hat mit G f den Ursprung gemeinsam (kein Nachweis erforderlich). Untersuchen Sie rechnerisch, für welche Werte des Parameters a es einen zweiten Punkt gibt, den die Gerade g a mit G f gemeinsam hat. Geben Sie die x -Koordinate x S dieses Punktes in Abhängigkeit von a an.
[Zur Kontrolle: x S = 2 - ln a ]

Teilaufgabe 3b  (5 BE)

F : x ↦ ( - x - 1 ) ⋅ e 2 - x mit x ∈ ℝ ist eine Stammfunktion von f (Nachweis nicht erforderlich).
Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die G f mit der Geraden g a für a = 1 einschließt.

Teilaufgabe 3c  (3 BE)

G f und die x -Achse schließen im I. Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein, das den endlichen Flächeninhalt e 2 besitzt (Nachweis nicht erforderlich).
Für ein bestimmtes a 0 teilt die Gerade g a 0 dieses Flächenstück in zwei inhaltsgleiche Teilstücke. Geben Sie einen Ansatz zur Bestimmung von a 0 an.

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