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Abitur 2021 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) = x - 2 + 1 und maximalem Definitionsbereich.

Zeichnen Sie den Graphen von f im Bereich 2 ≤ x ≤ 11 in ein Koordinatensystem.


Berechnen Sie den Wert des Integrals ∫ 2 3 f ( x )  dx .

Geben Sie jeweils den Term einer in ℝ definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge W hat.

W = ] - ∞ ; 1 ]


W = ] 3 ; + ∞ [


Betrachtet werden eine in ℝ definierte ganzrationale Funktion p und der Punkt Q ( 2 | p ( 2 ) ) .

Beschreiben Sie, wie man rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen von p im Punkt Q ermitteln kann.


Gegeben ist eine in ℝ definierte Funktion h : x ↦ a x 2 + c mit a , c ∈ ℝ , deren Graph im Punkt N ( 1 | 0 ) die Tangente mit der Gleichung y = - x + 1 besitzt. Bestimmen Sie a und c .

Die Abbildung zeigt den Graphen G f einer in ℝ definierten Funktion f . G f ist streng monoton fallend und schneidet die x-Achse im Punkt ( 1 | 0 ) .
Betrachtet wird ferner die Funktion g mit g ( x ) = 1 f ( x ) und maximalem Definitionsbereich D g .

Begründen Sie, dass x = 1 nicht in D g enthalten ist, und geben Sie den Funktionswert g ( - 2 ) an.


Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von f und g .

Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f : x ↦ ( 1 - x 2 ) ⋅ e - x . Die Abbildung zeigt den Graphen G f von f .


Zeigen Sie, dass f genau zwei Nullstellen besitzt.


Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinaten der beiden Extrempunkte von G f .

(zur Kontrolle: f ′ ( x ) = ( x 2 - 2 x - 1 ) ⋅ e - x )


Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral ∫ - 1 4 f ( x )  dx .

Die in ℝ definierte Funktion F ist diejenige Stammfunktion von f , deren Graph durch den Punkt T ( - 1 | 2 ) verläuft.

Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von F im Punkt T einen Tiefpunkt besitzt.


Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von F . Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass F ( 1 ) ≈ 3 , 5 und lim x → + ∞ F ( x ) = 2 gilt.


Deuten Sie die Aussage F ( 2 , 5 ) - F ( 0 ) ≈ 0 in Bezug auf G f geometrisch.

Betrachtet wird nun die Schar der in ℝ definierten Funktionen h k : x ↦ ( 1 - k x 2 ) ⋅ e - x mit k ∈ ℝ . Der Graph von h k wird mit G k bezeichnet.
Für k = 1 ergibt sich die bisher betrachtete Funktion f .

Geben Sie in Abhängigkeit von k die Anzahl der Nullstellen von h k an.


Für einen bestimmten Wert von k besitzt G k zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, die voneinander den Abstand 4 haben. Berechnen Sie diesen Wert.


Beurteilen Sie, ob es einen Wert von k gibt, sodass G k und G f bezüglich der x-Achse symmetrisch zueinander liegen.

Betrachtet wird die in ℝ definierte Funktion g : x ↦ e x e x + 1 . Ihr Graph wird mit G g bezeichnet.

Zeigen Sie, dass g streng monoton zunehmend ist und die Wertemenge ] 0 ; 1 [ besitzt.

(zur Kontrolle: g ′ ( x ) = e x ( e x + 1 ) 2 )


Geben Sie g ′ ( 0 ) an und zeichnen Sie G g im Bereich - 4 ≤ x ≤ 4 unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass G g in W ( 0 | g ( 0 ) ) seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein.


Der Graph der Funktion g * geht aus G g durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von g * ist ] - 1 ; 1 [ . Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für g * an.


Es wird das Flächenstück zwischen G g und der x-Achse im Bereich - ln 3 ≤ x ≤ b mit b ∈ ℝ + betrachtet. Bestimmen Sie den Wert von b so, dass die y-Achse dieses Flächenstück halbiert.