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Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil B 2a  (5 BE)
Betrachtet wird die in definierte Funktion g : x e x e x + 1 . Ihr Graph wird mit G g bezeichnet.
Zeigen Sie, dass g streng monoton zunehmend ist und die Wertemenge ] 0 ; 1 [ besitzt.

(zur Kontrolle: g ( x ) = e x ( e x + 1 ) 2 )
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2a

Monotonieverhalten einer Funktion



g ( x ) = e x e x + 1

Erste Ableitung bilden: g ( x )
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g ( x ) = e x ( e x + 1 ) - e x e x ( e x + 1 ) 2
g ( x ) = e x ( e x + 1 - e x ) ( e x + 1 ) 2

g ( x ) = e x ( e x + 1 ) 2



Vorzeichen der ersten Ableitung f ( x ) untersuchen:
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g ( x ) = e x > 0 ( e x + 1 ) 2 > 0 > 0 für x
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streng monoton steigend
Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs



lim x - e x 0 e x 0 + 1 1 = 0
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lim x e x e x + 1 = lim x e x e x ( 1 + 1 e x ) = lim x 1 1 + e - x 0 = 1
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