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Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil B b  (5 BE)
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von G f .
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Lage von Extrempunkten ermitteln



f ( x ) = 4 x ( x + 1 ) 2 , D f = { - 1 }

Erste Ableitung bilden: f ( x )
Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) = 4 ( x + 1 ) 2 - 4 x 2 ( x + 1 ) ( x + 1 ) 4 = 4 ( x + 1 ) ( x + 1 - 2 x ) ( x + 1 ) 4 = 4 ( 1 - x ) ( x + 1 ) 3
Schritt einblenden / ausblenden
Erste Ableitung gleich Null setzen: f ( x ) = 0

4 ( 1 - x ) ( x + 1 ) 3 = 0
4 ( 1 - x ) = 0

x E = 1


Lage des möglichen Extrempunkts:
y E = f ( 1 ) = 4 2 2 = 1

E ( 1 | 1 )
Art von Extrempunkten ermitteln



f ( x ) = 4 ( 1 - x ) ( x + 1 ) 3

Zweite Ableitung bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) = - 4 ( x + 1 ) 3 - 4 ( 1 - x ) 3 ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) 6

f ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( - 4 ( x + 1 ) - 12 ( 1 - x ) ) ( x + 1 ) 6

f ( x ) = - 4 x - 4 - 12 + 12 x ( x + 1 ) 4

f ( x ) = 8 x - 16 ( x + 1 ) 4



Vorzeichen der zweiten Ableitung an der möglichen Extremstelle untersuchen:
Schritt einblenden / ausblenden
f ( 1 ) = 8 - 16 2 4 = - 1 2 < 0

E ( 1 | 1 ) Hochpunkt