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Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil B j  (4 BE)
Verabreicht man das Medikament nicht in Form von Tabletten, sondern mittels einer Dauerinfusion, so wird der Wirkstoff langsam und kontinuierlich zugeführt. Die in definierte Funktion k : x 3 e 2 x e 2 x + 1 - 1 , 5 beschreibt für x 0 modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer Dauerinfusion. Dabei ist x die seit Anlegen der Dauerinfusion vergangene Zeit in Stunden und k ( x ) die Wirkstoffkonzentration in mg l .
Begründen Sie, dass der Graph von k streng monoton steigend ist.

(zur Kontrolle: k ( x ) = 6 e 2 x ( e 2 x + 1 ) 2 )
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B j

Monotonieverhalten einer Funktion



k ( x ) = 3 e 2 x e 2 x + 1 - 1 , 5


Erste Ableitung bilden: k ( x )
k ( x ) = 3 e 2 x 2 ( e 2 x + 1 ) - 3 e 2 x e 2 x 2 ( e 2 x + 1 ) 2 - 0 = 6 e 2 x e 2 x + 6 e 2 x - 6 e 2 x e 2 x ( e 2 x + 1 ) 2

k ( x ) = 6 e 2 x ( e 2 x + 1 ) 2
Vorzeichen der ersten Ableitung k ( x ) untersuchen:
6 e 2 x > 0 ( e 2 x + 1 ) 2 > 0 > 0


k ( x ) > 0 für x
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k ( x ) ist für x streng monoton steigend