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Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil B j  (4 BE)
Verabreicht man das Medikament nicht in Form von Tabletten, sondern mittels einer Dauerinfusion, so wird der Wirkstoff langsam und kontinuierlich zugeführt. Die in ℝ definierte Funktion k : x ↦ 3 ⋅ e 2 x e 2 x + 1 - 1 , 5 beschreibt für x ≥ 0 modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer Dauerinfusion. Dabei ist x die seit Anlegen der Dauerinfusion vergangene Zeit in Stunden und k ( x ) die Wirkstoffkonzentration in mg l .
Begründen Sie, dass der Graph von k streng monoton steigend ist.

(zur Kontrolle: k ′ ( x ) = 6 e 2 x ( e 2 x + 1 ) 2 )
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B j

Monotonieverhalten einer Funktion



k ( x ) = 3 ⋅ e 2 x e 2 x + 1 - 1 , 5


Erste Ableitung bilden: k ′ ( x )
k ′ ( x ) = 3 e 2 x ⋅ 2 ⋅ ( e 2 x + 1 ) - 3 e 2 x ⋅ e 2 x ⋅ 2 ( e 2 x + 1 ) 2 - 0 = 6 e 2 x ⋅ e 2 x + 6 e 2 x - 6 e 2 x ⋅ e 2 x ( e 2 x + 1 ) 2

k ′ ( x ) = 6 e 2 x ( e 2 x + 1 ) 2
Vorzeichen der ersten Ableitung k ′ ( x ) untersuchen:
6 e 2 x ︷ > 0 ( e 2 x + 1 ) 2 ︸ > 0 > 0


k ′ ( x ) > 0 für x ∈ ℝ
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ k ( x ) ist für x ∈ ℝ streng monoton steigend

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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