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Abitur 2017 Mathematik Analytische Geometrie V

Gegeben sind die Punkte

A (2 | 1 | - 4)

B (6 | 1 | - 12)

und

C (0 | 1 | 0)

Teilaufgabe Teil A 1a (3 BE)

Weisen Sie nach, dass der Punkt

C

auf der Geraden

A B

, nicht aber auf der Strecke

[A B]

liegt.

Teilaufgabe Teil A 1b (2 BE)

Auf der Strecke

[A B]

gibt es einen Punkt

D,

der von

B

dreimal so weit entfernt ist wie von

A

. Bestimmen Sie die Koordinaten von

D

Gegeben ist die Ebene

E : 2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = - 18

Teilaufgabe Teil A 2a (2 BE)

Der Schnittpunkt von

E

mit der

x_{1}

-Achse, der Schnittpunkt von

E

mit der

x_{2}

-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

Teilaufgabe Teil A 2b (3 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von

E

als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene

E

ist.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte

A (0 | 0 | 1)

B (2 | 6 | 1)

C (- 4 | 8 | 5)

und

D (- 6 | 2 | 5)

gegeben. Sie liegen in einer Ebene

E

und bilden ein Viereck

A B C D

, dessen Diagonalen sich im Punkt

M

schneiden.

Teilaufgabe Teil B a (1 BE)

Begründen Sie, dass die Gerade

A B

parallel zur

x_{1} x_{2}

-Ebene verläuft.

Teilaufgabe Teil B b (4 BE)

Weisen Sie nach, dass das Viereck

A B C D

ein Rechteck ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von

M

(Teilergebnis: $M (- 2 | 4 | 3)$ )

Teilaufgabe Teil B c (3 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

E

in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: $E : 3 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} - 5 = 0$ )

Ein Solarmodul wird an einem Metallrohr befestigt, das auf einer horizontalen Fläche senkrecht steht. Das Solarmodul wird modellhaft durch das Rechteck

A B C D

dargestellt. Das Metallrohr lässt sich durch eine Strecke, der Befestigungspunkt am Solarmodul durch den Punkt

M

beschreiben (vgl. Abbildung). Die horizontale Fläche liegt im Modell in der

x_{1} x_{2}

-Ebene des Koordinatensystems; eine Längeneinheit entspricht

0, 8 m

in der Realität.

Teilaufgabe Teil B d (3 BE)

Um einen möglichst großen Energieertrag zu erzielen, sollte die Größe des Neigungswinkels

φ

des Solarmoduls gegenüber der Horizontalen zwischen

30^{\circ}

und

36^{\circ}

liegen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.

Teilaufgabe Teil B e (5 BE)

Auf das Solarmodul fällt Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, die senkrecht zur Ebene

E

verlaufen. Das Solarmodul erzeugt auf der horizontalen Fläche einen rechteckigen Schatten.
Zeigen Sie unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms

| \vec{A B} | \cdot \frac{| \vec{A D} |}{\cos φ} \cdot (0, 8 m)^{2}

berechnet werden kann.

Teilaufgabe Teil B f (4 BE)

Um die Sonneneinstrahlung im Laufe des Tages möglichst effektiv zur Energiegewinnung nutzen zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Solarmodul um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Größe des Neigungswinkels

φ

gegenüber der Horizontalen bleibt dabei unverändert.
Betrachtet wird der Eckpunkt des Solarmoduls, der im Modell durch den Punkt

A

dargestellt wird. Berechnen Sie den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt des Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau.