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Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe Teil B f  (4 BE)
Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche IJKL liegt auf der Kante [ F G ] . Untersuchen Sie, ob die Höhe dieser Pyramide 2 betragen kann.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Geradengleichung aufstellen



Strecke [ F G ] : X = ( 5 0 5 ) F + α ( 0 1 0 ) x 2 -Achse α [ 0 ; 5 ]

Allgemeiner Punkt auf der Strecke: X n ( 5 | α | 5 )
Abstand Punkt - Ebene



T : 5 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 = 30

n T = ( 5 4 5 ) Normalenvektor der Ebene

| n E | = | ( 5 4 5 ) | = 5 2 + 4 2 + 5 2 = 66


Hesse-Normalenform T HNF der Ebene aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
T HNF : 5 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 - 30 66 = 0

Abstand bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
h = d ( X n , T ) = | 5 5 + 4 α + 5 5 - 30 66 | = | 4 α + 20 66 |


Prüfen, ob die Höhe 2 betragen kann:
| 4 α + 20 66 | = 2
4 α + 20 66 = ± 2 | 66

4 α + 20 = ± 2 66 | - 20

4 α = ± 2 66 - 20 | : 4

α 1 , 2 = ± 2 66 - 20 4

α 1 = 2 66 - 20 4 - 0 , 94
α 2 = - 2 66 - 20 4 - 9 , 06


h 2

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