Abitur 2019 Mathematik Analytische Geometrie VI Aufgabe Teil B b

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Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B b (3 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

T

in Normalenform.

(zur Kontrolle:

T : 5 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} - 30 = 0

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Ebene aus drei Punkte

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Richtungsvektoren der Ebene

T

\vec{I J} = \vec{J} - \vec{I} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 5 \\ - 1 \end{matrix})

\vec{I L} = \vec{L} - \vec{I} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

I (5 | 0 | 1)

sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

T

Ebenengleichung in Normalenform

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Normalenvektor

\vec{n_{T}}

der Ebene

T

bestimmen:

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} - 3 \\ 5 \\ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \cdot 4 - 0 \\ (- 1) \cdot (- 4) - (- 3) \cdot 4 \\ 0 - 5 \cdot (- 4) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 16 \\ 20 \end{matrix})

\vec{I J} \times \vec{I L} = (\begin{matrix} - 3 \\ 5 \\ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 16 \\ 20 \end{matrix})

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor mit

\frac{1}{4}

multipliziert.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\Rightarrow

\vec{n_{T}} = \frac{1}{4} \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 16 \\ 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

I

ist Aufpunkt):

T : \underset{\vec{n_{T}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{I}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}}

T : 5 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} = 25 + 0 + 5

T : 5 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3} = 30

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Teilaufgabe Teil B d

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Teilaufgabe Teil B f

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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