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Abitur 2019 Mathematik Analytische Geometrie VI

Gegeben sind die beiden Kugeln k 1 mit Mittelpunkt M 1 ( 1 | 2 | 3 ) und Radius 5 sowie k 2 mit Mittelpunkt M 2 ( - 3 | - 2 | 1 ) und Radius 5.
Zeigen Sie, dass sich k 1 und k 2 schneiden.

Die Schnittfigur von k 1 und k 2 ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises.

Die Ebene E : 3 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 6 enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Die Abbildung zeigt den Würfel A B C D E F G H mit A ( 0 | 0 | 0 ) und G ( 5 | 5 | 5 ) in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene T schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten I ( 5 | 0 | 1 ) , J ( 2 | 5 | 0 ) , K ( 0 | 5 | 2 ) und L ( 1 | 0 | 5 ) .

Zeichnen Sie das Viereck I J K L in die Abbildung ein und zeigen Sie, dass es sich um ein Trapez handelt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene T in Normalenform.

(zur Kontrolle: T : 5 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 - 30 = 0 )

Für a + ist die Gerade g a : X = ( 2 , 5 0 3 , 5 ) + λ ( 0 - 10 a 2 a ) mit λ gegeben.
Bestimmen Sie den Wert von a , sodass die Gerade g a die Würfelfläche CDHG in ihrem Mittelpunkt schneidet.

Für jedes a + liegt die Gerade g a in der Ebene U mit der Gleichung x 1 = 2 , 5 .
Ein beliebiger Punkt P ( p 1 | p 2 | p 3 ) des Raums wird an der Ebene U gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Bildpunkts P in Abhängigkeit von p 1 , p 2 und p 3 an.

Spiegelt man die Ebene T an U , so erhält man die von T verschiedene Ebene T . Zeigen Sie, dass für einen bestimmten Wert von a die Gerade g a in der Ebene T liegt, und begründen Sie, dass diese Gerade g a die Schnittgerade von T und T ist.

Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche IJKL liegt auf der Kante [ F G ] . Untersuchen Sie, ob die Höhe dieser Pyramide 2 betragen kann.

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
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