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Abitur 2014 Mathematik Analytische Geometrie V

Die Abbildung zeigt ein gerades Prisma A B C D E F mit A ( 0 | 0 | 0 ) , B ( 8 | 0 | 0 ) , C ( 0 | 8 | 0 ) und D ( 0 | 0 | 4 ) .

Bestimmen Sie den Abstand der Eckpunkte B und F .

Die Punkte M und P sind die Mittelpunkte der Kanten [ A D ] bzw. [ B C ] .
Der Punkt K ( 0 | y K | 4 ) liegt auf der Kante [ D F ] . Bestimmen Sie y K so, dass das Dreieck K M P in M rechtwinklig ist.

Gegeben ist die Ebene E : 3 x 2 + 4 x 3 = 5 .
Beschreiben Sie die besondere Lage von E im Koordinatensystem.

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt Z ( 1 | 6 | 3 ) und Radius 7 die Ebene E schneidet.

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte A ( 4 | 0 | 0 ) , B ( 0 | 4 | 0 ) und C ( 0 | 0 | 4 ) das Dreieck A B C fest, das in der Ebene E : x 1 + x 2 + x 3 = 4 liegt.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks A B C .

Das Dreieck A B C stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt P ( 2 | 2 | 3 ) gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht. Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor v = ( - 1 - 1 - 4 ) beschrieben.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts R , in dem g die Ebene E schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft.

( zur Kontrolle: R ( 1 , 5 | 1 , 5 | 1 ) )


Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt R dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt Q ( 0 | 0 | 1 ) beschrieben wird (vgl. Abbildung).

Zeigen Sie, dass die Punkte P und Q bezüglich der Ebene E symmetrisch sind.

Das Lot zur Ebene E im Punkt R wird als Einfallslot bezeichnet.
Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene F . Ermitteln Sie eine Gleichung von F in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene F liegt.

( mögliches Teilergebnis: F : x 1 - x 2 = 0 )


Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels β zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels α zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt.

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