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Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe Teil B e  (4 BE)
Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels β zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels α zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B e

Winkel zwischen zwei Vektoren



Richtungsvektor des einfallenden Strahls: v = ( - 1 - 1 - 4 ) (s. Teil B Teilaufgabe b)

Richtungsvektor des reflektierten Strahls: w = ( 1 , 5 1 , 5 0 ) (s. Teil B Teilaufgabe d)

Richtungsvektor des Einfallslot u = ( 1 1 1 ) (s. Teil B Teilaufgabe d)


Winkel α und β bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
cos α = | v u | | v | | u | ; cos β = | w u | | w | | u |

cos α = | ( - 1 - 1 - 4 ) ( 1 1 1 ) | | ( - 1 - 1 - 4 ) | | ( 1 1 1 ) | ; cos β = | ( 1 , 5 1 , 5 0 ) ( 1 1 1 ) | | ( 1 , 5 1 , 5 0 ) | | ( 1 1 1 ) |
Schritt einblenden / ausblenden
cos α = 6 18 3 ; cos β = 3 4 , 5 3

cos - 1 ( 6 18 3 ) = cos - 1 ( 3 4 , 5 3 ) 35 , 26
Alternative Lösung



Variante 1

Zeige durch Umformung, dass cos α = cos β .
Schritt einblenden / ausblenden
cos α = 6 18 3 = 6 3 2 3 = 2 6

cos β = 3 4 , 5 3 = 3 9 2 3 = 3 3 2 3 = 3 3 2 2 3 = 2 6

Aus cos α = cos β folgt α = β .



Variante 2

Einheitsvektoren w 0 und - v 0 bestimmen:

w 0 = 1 | w | w = 1 4 , 5 ( 1 , 5 1 , 5 0 ) = 1 18 ( 3 3 0 )

- v 0 = 1 | - v | v = 1 18 ( 1 1 4 )

Verbindungsvektor t zwischen w 0 und - v 0 bestimmen:

t = - v 0 - w 0 = 1 18 ( 1 - 3 1 - 3 4 - 0 ) = 1 18 ( - 2 - 2 4 )


Skalarprodukt mit u bilden:

1 18 ( - 2 - 2 4 ) ( 1 1 1 ) = 0 t u

Der Verbindungsvektor t steht senkrecht auf den Richtungsvektor des Einfalllotes. Somit sind die Winkel gleichgroß.




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