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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 2c  (5 BE)
Eine Ebene E , die parallel zur Ebene E liegt, zerlegt den Kegel K 1 in einen Kegel K 2 und einen Kegelstumpf. Die Höhe des Kegelstumpfs beträgt ein Drittel der Höhe des Gesamtkegels K 1 . Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens des Kegelstumpfs am Volumen des Kegels K 1 .
 
Lösung zu Teilaufgabe 2c

Volumen eines Kegels



Höhe des Kegels K 1 (siehe Teilaufgabe 2a):
h = B S ¯ = 12 LE (Längeneinheiten)

Höhe des Kegels K 2 :
h 2 = 2 3 h = 2 3 12 = 8 LE (Längeneinheiten)

Radius des Kegels K 1 (siehe Teilaufgabe 2a):
r = A B ¯ = 17 LE (Längeneinheiten)

Radius des Kegels K 2 :
Schritt einblenden / ausblenden
r 2 r = h 2 h

r 2 = h 2 h r = 8 12 17 = 2 17 3 LE (Längeneinheiten)
Volumen des Kegels K 2 bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
V K 2 = 1 3 r 2 2 π h 2

= 1 3 ( 2 17 3 ) 2 π 8

= 544 27 π VE (Volumeneinheiten)
Volumen der Teilkörper



Volumen des Kegels K 1 (siehe Teilaufgabe 2a):
V K 1 = 68 π VE (Volumeneinheiten)

Volumen V K S des Kegelstumpfs bestimmen:

V K S = V K 1 - V K 2 = 68 π - 544 27 π = 1292 27 π VE (Volumeneinheiten)
Prozentualer Anteil bestimmen:

V K S V K 1 = 1292 27 π 68 π = 19 27 70 , 4 %

Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt ca. 70 , 4 % des Kegelvolumens

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