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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1b  (6 BE)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Fußpunktes F des Lotes vom Punkt S auf die Ebene E sowie den Abstand d des Punktes S von der Ebene E .

[Ergebnis: F = B ; d = 12 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lotfußpunkt auf eine Ebene





S ( 3 | 7 | - 11 )

E N : x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 - 3 = 0 n E = ( 1 2 - 2 ) (s. Teilaufgabe 1a)

Gleichung der Lotgeraden aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
l : X = ( 3 7 - 11 ) + λ ( 1 2 - 2 ) , λ
Schnitt Ebene und Gerade



Ebene E mit Lotgerade l schneiden:
Schritt einblenden / ausblenden
E l :

l : X = ( 3 7 - 11 ) + λ ( 1 2 - 2 )

x 1 = 3 + λ x 2 = 7 + 2 λ x 3 = - 11 - 2 λ in E N : x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 - 3 = 0 einsetzen:


( 3 + λ ) + 2 ( 7 + 2 λ ) - 2 ( - 11 - 2 λ ) - 3 = 0

3 + λ + 14 + 4 λ + 22 + 4 λ - 3 = 0

9 λ = - 36

λ = - 4
λ = - 4 in die Geradengleichung einsetzen:

F = ( 3 7 - 11 ) - 4 ( 1 2 - 2 ) = ( - 1 - 1 - 3 ) = B

Der Fußpunkt F des Lotes vom Punkt S auf die Ebene E ist B ( - 1 | - 1 | - 3 )
Abstand Punkt - Ebene



Betrag des Normalenvektors bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
| n E | = ( 1 2 - 2 ) 2 = 1 2 + 2 2 + ( - 2 ) 2 = 9 = 3
Hesse-Normalenform E H N F der Ebene E aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
E H N F : 1 3 ( x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 - 3 ) = 0


Abstand des Punktes S von der Ebene E bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
d ( S , E ) = | 1 3 ( 3 + 2 7 + 2 11 - 3 ) | = 12

Der Abstand des Punktes S zur Ebene E beträgt 12 LE (Längeneinheiten).

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