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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1a  (8 BE)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( - 3 | 2 | - 1 ) , B ( - 1 | - 1 | - 3 ) und S ( 3 | 7 | - 11 ) sowie die Geraden g = A B und h : x = ( 7 4 6 ) + λ ( - 2 3 2 ) , λ , gegeben.
Zeigen Sie, dass die Geraden g und h echt parallel zueinander sind. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E , die die Geraden g und h enthält, in Normalenform.

[mögliches Ergebnis: E : x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 - 3 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Geradengleichung aufstellen



A ( - 3 | 2 | - 1 ) , B ( - 1 | - 1 | - 3 )

h : x = ( 7 4 6 ) + λ ( - 2 3 2 )

Der Vektor ( - 2 3 2 ) ist Richtungsvektor der Geraden h , P ( 7 | 4 | 6 ) ist Aufpunkt von h
Richtungsvektor der Geraden g :

A B = B - A = ( - 1 - 1 - 3 ) - ( - 3 2 - 1 ) = ( 2 - 3 - 2 )

Gleichung der Geraden g :
Schritt einblenden / ausblenden
g : x = ( - 3 2 - 1 ) + μ ( 2 - 3 - 2 )
Lagebeziehung von Geraden



Auf Parallelität überprüfen:
(Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander?)

( 2 - 3 - 2 ) = ( - 1 ) ( - 2 3 2 )
Schritt einblenden / ausblenden
g und h sind parallel

damit sind nur die Lagebeziehungen "identisch" oder "echt parallel" möglich
Überprüfen ob gilt: g h
Schritt einblenden / ausblenden
( - 3 2 - 1 ) = ( 7 4 6 ) + λ ( - 2 3 2 )

( - 3 2 - 1 ) - ( 7 4 6 ) = λ ( - 2 3 2 )

( - 10 - 2 - 7 ) = λ ( - 2 3 2 ) - 10 = - 2 λ - 2 = 3 λ - 7 = 2 λ λ = 5 λ = - 2 3 λ = - 7 2 Widerspruch!

g und h sind echt parallel
Ebenengleichung in Normalenform



A = ( - 3 2 - 1 ) Ortsvektor (des Aufpunkts) der Ebene E

A B = ( 2 - 3 - 2 ) Richtungsvektor der Geraden g ist ein Richtungsvektor der Ebene E

Zweiter Richtungsvektor der Ebene E bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
P A = A - P = ( - 3 2 - 1 ) - ( 7 4 6 ) = ( - 10 - 2 - 7 ) (Verbindungsvektor von A und P )
Normalenvektor n E der Ebene E aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen:
A B × P A = ( 2 - 3 - 2 ) × ( - 10 - 2 - 7 )
Schritt einblenden / ausblenden
= ( 17 34 - 34 )

Normalenvektor vereinfachen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E = 1 17 ( 17 34 - 34 ) = ( 1 2 - 2 )
Normalenform E N der Ebene E :
Schritt einblenden / ausblenden
E N : X ( 1 2 - 2 ) = ( - 3 2 - 1 ) ( 1 2 - 2 )

E N : x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 = 3

E N : x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 - 3 = 0

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