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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 2a  (4 BE)
Lässt man das Dreieck A B S um die Achse B S rotieren, so entsteht als Rotationskörper ein Kegel K 1 .
Berechnen Sie das Volumen von K 1 .
 
Lösung zu Teilaufgabe 2a

Länge eines Vektors





A ( - 3 | 2 | - 1 ) , B ( - 1 | - 1 | - 3 ) , S ( 3 | 7 | - 11 )

Vektoren A B , B S und ihre Länge bestimmen:

A B = B - A = ( - 1 - 1 - 3 ) - ( - 3 2 - 1 ) = ( 2 - 3 - 2 )

B S = S - B = ( 3 7 - 11 ) - ( - 1 - 1 - 3 ) = ( 4 8 - 8 )
Schritt einblenden / ausblenden
| A B | = ( 2 - 3 - 2 ) 2 = 2 2 + ( - 3 ) 2 + ( - 2 ) 2 = 17 LE (Längeneinheiten)

| B S | = ( 4 8 - 8 ) 2 = 4 2 + 8 2 + ( - 8 ) 2 = 144 = 12 LE (Längeneinheiten)
Volumen eines Kegels



Volumen des Kegels K 1 bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
r = A B ¯ = 17 LE (Längeneinheiten)

h = B S ¯ = 12 LE (Längeneinheiten)

V K e g e l = 1 3 r 2 π h

= 1 3 ( 17 ) 2 π 12

= 68 π VE (Volumeneinheiten)

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