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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1d  (5 BE)
Berechnen Sie den Abstand d ( g , h ) der Geraden g und h .

[Ergebnis: d ( g , h ) = 3 17 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1d

Abstand paralleler Geraden





A ( - 3 | 2 | - 1 ) , B ( - 1 | - 1 | - 3 )

h : x = ( 7 4 6 ) + λ ( - 2 3 2 ) u

Hilfsebene H durch A senkrecht zu h :
Schritt einblenden / ausblenden
H : [ X - ( - 3 2 - 1 ) ] ( - 2 3 2 ) = 0

H : - 2 x 1 + 3 x 2 + 2 x 2 - 10 = 0
Ebene H mit Gerade h schneiden:
Schritt einblenden / ausblenden
H h :

h : X = ( 7 4 6 ) + λ ( - 2 3 2 )

x 1 = 7 - 2 λ x 2 = 4 + 3 λ x 3 = 6 + 2 λ in H N : - 2 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 - 10 = 0 einsetzen:


- 2 ( 7 - 2 λ ) + 3 ( 4 + 3 λ ) + 2 ( 6 + 2 λ ) - 10 = 0

- 14 + 4 λ + 12 + 9 λ + 12 + 4 λ - 10 = 0

17 λ = 0

λ = 0
λ = 0 in die Geradengleichung einsetzen:

C = ( 7 4 6 ) + 0 ( - 2 3 2 )

C = ( 7 4 6 )

Die Ebene H schneidet die Gerade h im Punkt C ( 7 | 4 | 6 )
Abstand der Geraden g und h bestimmen:

A C = C - A = ( 7 4 6 ) - ( - 3 2 - 1 ) = ( 10 2 7 )

d ( g , h ) = | A C |
Schritt einblenden / ausblenden
= ( 10 2 7 ) 2 = 100 + 4 + 49 = 153 = 3 17

Der Abstand zwischen den Geraden g und h ist gleich 3 17 LE (Längeneinheiten)

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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