Teilaufgabe 1d (8 BE)
Betrachtet wird nun die Integralfunktion mit .
Berechnen Sie . Was folgt daraus für die beiden Flächenstücke, die der Graph mit der -Achse im I. und im IV. Quadranten einschließt? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie nun die Summe der Inhalte dieser beiden Flächenstücke.
Bestimmtes Integral
Stammfunktion
Für eine Potenzfunktion
mit
ist eine Stammfunktion
gegeben durch die Formel:
Bei der obigen Polynomfunktion
wird jeder Summenterm einzeln hochgeleitet und dann addiert.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Ist
eine Stammfunktion von
dann gilt:
Verhältnis von Teilflächen
Aus folgt, dass die Flächenstücke die der Graph mit der -Achse im I. und IV. Quadranten einschließt gleich groß sind.
Bestimmtes Integral
Das Integral
ist gleich der Fläche A die der Graph
mit der
-Achse zwischen 0 und 2 einschließt. Der Wert des Integrals ist positiv.
Das Integral
ist gleich der Fläche die der Graph
mit der
-Achse zwischen 2 und 4 einschließt. Der Wert des Integrals ist negativ.
Die Fläche zwischen 0 und 2 ist ebenso groß positiv, wie die Fläche zwischen 2 und 4 negativ.
Flächenberechnung
Flächen berechnen
Da beide Flächen gleich groß sind, ist die Gesamtfläche gleich 2 mal die Fläche zwischen 0 und 2.
Die Summe der beiden Flächenstücke ist gleich 8.