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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe 1d  (8 BE)
Betrachtet wird nun die Integralfunktion F : x 0 x f ( t ) d t mit D F = .
Berechnen Sie F ( 4 ) . Was folgt daraus für die beiden Flächenstücke, die der Graph G f mit der x -Achse im I. und im IV. Quadranten einschließt? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie nun die Summe der Inhalte dieser beiden Flächenstücke.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1d

Bestimmtes Integral





F : x 0 x f ( t ) d t , D f =

f ( t ) = t 3 - 6 t 2 + 8 t

F ( 4 ) = 0 4 f ( t ) d t

= 0 4 ( t 3 - 6 t 2 + 8 t ) d t
Schritt einblenden / ausblenden
= [ t 4 4 - - 6 t 3 3 + 8 t 2 2 ] 0 4 = [ t 4 4 - 2 t 3 + 4 t 2 ] 0 4
Schritt einblenden / ausblenden
= ( 4 4 4 - 2 4 3 + 4 4 2 ) - ( 0 4 4 - 2 0 3 + 4 0 2 ) = 0

= 64 - 2 64 + 64 = 0
Verhältnis von Teilflächen



Aus F ( 4 ) = 0 folgt, dass die Flächenstücke die der Graph G f mit der x -Achse im I. und IV. Quadranten einschließt gleich groß sind.
Schritt einblenden / ausblenden
Die Fläche zwischen 0 und 2 ist ebenso groß positiv, wie die Fläche zwischen 2 und 4 negativ.
Flächenberechnung



A = 0 2 f ( t ) d t

= [ t 4 4 - 2 t 3 + 4 t 2 ] 0 2

= 2 4 4 - 2 2 3 + 4 2 2 - 0

= 4 - 16 + 16 = 4
Schritt einblenden / ausblenden
A + B = 2 A = 2 4 = 8

Die Summe der beiden Flächenstücke ist gleich 8.

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