Teilaufgabe 1f (3 BE)
Bekanntlich ist jede Integralfunktion der Funktion auch Stammfunktion von . Begründen Sie, dass jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle hat. Geben Sie den Term einer Stammfunktion von an, die keine Integralfunktion von ist.
Eigenschaften der Integralfunktion
Ist eine beliebige Integralfunktion mit , dann gilt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung:
Für ist dann , also besitzt jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle.
Erläuterung
Ausgehend von der Integralfunktion
aus Teilaufgabe 1d) addiert man einen positiven Summanden (z.B +1) der Funktion dazu.
Die Funktion
ist weiterhin eine Stammfunktion von
, denn:
Der Graph
von
ist gleich dem Graphen
von
um 1 entlang der
-Achse nach oben verschoben.
hat somit keine Nullstellen mehr. Deswegen ist
keine Integralfunktion von
.
Eine Stammfunktion von die keine Integralfunktion von ist: