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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 3  (7 BE)
K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radius r = 3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor - 2 auf die Kugel K ′ abgebildet.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M ′ von K ′ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P ′ haben können, wenn P auf K und P ′ auf K ′ liegt.
 
Lösung zu Teilaufgabe 3

Lage eines Punktes





M A → = O A → - O M → = ( 1 2 3 ) - ( 2 3 - 1 ) = ( - 1 - 1 4 )

Punkt M ′ bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
O M ′ → = O A → + 2 ⋅ M A → = ( 1 2 3 ) + 2 ⋅ ( - 1 - 1 4 ) = ( - 1 0 11 )

⇒ M ′ ( - 1 | 0 | 11 )
Abstand zweier Punkte



r = 3

r ′ = 2 r = 6

M M ′ → = O M ′ → - O M → = ( - 1 0 11 ) - ( 2 3 - 1 ) = ( - 3 - 3 12 )

Abstand zwischen den Mittelpunkten bestimmen:

M M ′ ¯ = | M M ′ → | | = | ( - 3 - 3 12 ) | = ( - 3 - 3 12 ) 2 = ( - 3 ) 2 + ( - 3 ) 2 + 12 2 = 162 = 9 2

Abstand zwischen P und P ′ bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
P P ′ ¯ = M M ′ ¯ + r ′ + r = 9 2 + 6 + 3 = 9 ( 2 + 1 )

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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