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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1b  (4 BE)
Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A , B und D durch einen vierten Punkt C zu einem Quadrat A B C D ergänzen lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnittpunkt M dieses Quadrats.

[Teilergebnis: M ( 2 | 3 | - 1 ) ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Länge eines Vektors



A ( 1 | 2 | 3 ) , B ( 5 | 0 | - 1 ) , D ( - 1 | 6 | - 1 )

Aus Aufgabenteil 1a):

A B = ( 4 - 2 - 4 ) , A D = ( - 2 4 - 4 )

Länge der Vektoren bestimmen:

A B ¯ = | ( 4 - 2 - 4 ) | = ( 4 - 2 - 4 ) 2 = 4 2 + ( - 2 ) 2 + 4 2 = 6

A D ¯ = | ( - 2 4 - 4 ) | = ( - 2 4 - 4 ) 2 = ( - 2 ) 2 + 4 2 + ( - 4 ) 2 = 6

A B ¯ = A D ¯ Die Vektoren sind gleich lang.
Winkel zwischen zwei Vektoren



Winkel zwischen den zwei Vektoren bestimmen:

A B A D = ( 4 - 2 - 4 ) ( - 2 4 - 4 ) = 0

A B liegt senkrecht auf A D , die beiden Vektoren bilden also einen rechten Winkel.


A , B und D können durch einen vierten Punkt C zu einem Quadrat ergänzt werden.
Lage eines Punktes



Punkt C bestimmen:

O C = O B + A D = ( 5 0 - 1 ) + ( - 2 4 - 4 ) = ( 3 4 - 5 )

C ( 3 | 4 | - 5 )
Mittelpunkt einer Strecke



M ist der Mittelpunkt der Strecke [ B D ] :

O M = 1 2 ( O B + O D ) = 1 2 [ ( 5 0 - 1 ) + ( - 1 6 - 1 ) ] = 1 2 ( 4 6 - 2 ) = ( 2 3 - 1 )

M ( 2 | 3 | - 1 )

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