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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 2a  (6 BE)
Das Quadrat A B C D als Begrenzungsfläche und die Strecke [ D S t ] als Seitenkante bestimmen ein Parallelflach.
Berechnen Sie alle Werte von t , für die das Parallelflach den Rauminhalt V = 144 hat.
 
Lösung zu Teilaufgabe 2a

Abstand Punkt - Ebene



S t ( 1 - t | 8 | t )

E A B C D : x ( 2 2 1 ) - 9 = 0 (siehe Teilaufgabe 1a)

Hesse-Normalenform der Ebene bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
E A B C D H N F : x ( 2 2 1 ) - 9 | ( 2 2 1 ) | = 0

E A B C D H N F : x ( 2 2 1 ) - 9 ( 2 2 1 ) 2 = 0

E A B C D H N F : x ( 2 2 1 ) - 9 2 2 + 2 2 + 1 2 = 0

E A B C D H N F : x ( 2 2 1 ) - 9 3 = 0

Abstand des Punktes S t zur Ebene bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
d ( S t ) = | E H N F ( S t ) |

= | ( 1 - t 8 t ) ( 2 2 1 ) - 9 3 |

= | 2 ( 1 - t ) + 16 + t - 9 3 |

= | 9 - t 3 |

= 1 3 | 9 - t |

Die Höhe h ( t ) ist also gleich:
Schritt einblenden / ausblenden
h ( t ) = 1 3 | 9 - t |
Volumen eines Prismas



Grundfläche des Parallelflachs ist das Quadrat A B C D :

G = A B ¯ 2 = 6 2 = 36 (siehe Teilaufgabe 1b)

Das Volumen des Parallelflachs ist dann gleich:

V = 36 h ( t ) = 36 1 3 | 9 - t | = 12 | 9 - t |

Es soll gelten: V = 144

12 | 9 - t | = 144

| 9 - t | = 12

± ( 9 - t ) = 12

t 1 = - 3 und t 2 = 21

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