über 250 kostenlose
Abituraufgaben
Lösung als Video
und ausformuliert
Alle Lösungen von
erfahrenen Lehrern
 
 
 
 
Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1a  (5 BE)
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des ℝ 3 die Punkte A ( 1 | 2 | 3 ) , B ( 5 | 0 | - 1 ) und D ( - 1 | 6 | - 1 ) sowie S t ( 1 - t | 8 | t ) mit t ∈ ℝ ∖ { 9 } als Parameter.
Zeigen Sie, dass die Punkte A , B und D eine Ebene E bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.

[Zur Kontrolle: E : 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 - 9 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus drei Punkte



A ( 1 | 2 | 3 ) , B ( 5 | 0 | - 1 ) , D ( - 1 | 6 | - 1 )

Richtungsvektoren a → und b → der Ebene E A B D bestimmen:

a → = A B → = O B → - O A → = ( 5 0 - 1 ) - ( 1 2 3 ) = ( 4 - 2 - 4 )

Schritt einblenden / ausblenden
a → = ( - 2 1 2 )
b → = A D → = O D → - O A → = ( - 1 6 - 1 ) - ( 1 2 3 ) = ( - 2 4 - 4 )
Schritt einblenden / ausblenden
b → = ( 1 - 2 2 )
a → und b → sind linear unabhängig, also liegen die Punkte A , B und D nicht auf einer Geraden und definieren somit einen Ebene E .
Ortsvektor x 0 → der Ebene E A B D ist O A → = ( 1 2 3 )
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ E A B C : x → = ( 1 2 3 ) + α ⋅ ( - 2 1 2 ) + β ⋅ ( 1 - 2 2 )
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor der Ebene E A B D bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E → = a → × b → = ( - 2 1 2 ) × ( 1 - 2 2 ) = ( 6 6 3 )
Schritt einblenden / ausblenden
n E → = ( 2 2 1 )

Normalenform der Ebene E A B D aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
E A B D N : x → ⋅ ( 2 2 1 ) = ( 1 2 3 ) ⋅ ( 2 2 1 )

E A B D N : x → ⋅ ( 2 2 1 ) = 9

E A B D N : 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 - 9 = 0

Themen-Übersicht
Themen
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
Feedback:
Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?