Teilaufgabe 1a (5 BE)
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des die Punkte und sowie mit als Parameter.
Zeigen Sie, dass die Punkte und eine Ebene bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Normalenform.
[Zur Kontrolle: ]
Ebene aus drei Punkte
Richtungsvektoren und der Ebene bestimmen:
Vereinfachen
Die Länge eines Richtungsvektor ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung.
Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt.
Hier wird der Richtungsvektor durch
geteilt.
Vereinfachen
Die Länge eines Richtungsvektor ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung.
Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt.
Hier wird der Richtungsvektor durch
geteilt.
und sind linear unabhängig, also liegen die Punkte und nicht auf einer Geraden und definieren somit einen Ebene .
Ortsvektor der Ebene ist
Ebenengleichung
Eine Ebene
ist durch einen Ortsvektor
und zwei Richtungsvektoren
und
eindeutig bestimmt.
Die Ebenengleichung lautet:
mit
Ebenengleichung in Normalenform
Normalenvektor der Ebene bestimmen:
Vektorprodukt
Vereinfachen
Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt.
Hier wird der Richtungsvektor durch 3 geteilt.
Normalenform der Ebene aufstellen:
Normalenform einer Ebene
Die Parameterform einer Ebene
lautet:
,
wobei
der Ortsvektor ist.
Die Normalenform einer Ebene
entsteht durch Skalarprodukt mit dem Normalenvektor
. Dieser steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren
und
der Ebene
. Das Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich
.
Es folgt also: