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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 1a  (5 BE)
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des 3 die Punkte A ( 1 | 2 | 3 ) , B ( 5 | 0 | - 1 ) und D ( - 1 | 6 | - 1 ) sowie S t ( 1 - t | 8 | t ) mit t { 9 } als Parameter.
Zeigen Sie, dass die Punkte A , B und D eine Ebene E bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.

[Zur Kontrolle: E : 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 - 9 = 0 ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Ebene aus drei Punkte



A ( 1 | 2 | 3 ) , B ( 5 | 0 | - 1 ) , D ( - 1 | 6 | - 1 )

Richtungsvektoren a und b der Ebene E A B D bestimmen:

a = A B = O B - O A = ( 5 0 - 1 ) - ( 1 2 3 ) = ( 4 - 2 - 4 )

Schritt einblenden / ausblenden
a = ( - 2 1 2 )
b = A D = O D - O A = ( - 1 6 - 1 ) - ( 1 2 3 ) = ( - 2 4 - 4 )
Schritt einblenden / ausblenden
b = ( 1 - 2 2 )
a und b sind linear unabhängig, also liegen die Punkte A , B und D nicht auf einer Geraden und definieren somit einen Ebene E .
Ortsvektor x 0 der Ebene E A B D ist O A = ( 1 2 3 )
Schritt einblenden / ausblenden
E A B C : x = ( 1 2 3 ) + α ( - 2 1 2 ) + β ( 1 - 2 2 )
Ebenengleichung in Normalenform



Normalenvektor der Ebene E A B D bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
n E = a × b = ( - 2 1 2 ) × ( 1 - 2 2 ) = ( 6 6 3 )
Schritt einblenden / ausblenden
n E = ( 2 2 1 )

Normalenform der Ebene E A B D aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
E A B D N : x ( 2 2 1 ) = ( 1 2 3 ) ( 2 2 1 )

E A B D N : x ( 2 2 1 ) = 9

E A B D N : 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 - 9 = 0

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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