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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V


 
Teilaufgabe 2c  (7 BE)
Nun sei t = 1 . Die durch die Punkte A , D und S 1 festgelegte
Seitenfläche des Parallelflachs liegt in der Ebene F : 2 x 1 - x 3 + 1 = 0 .
Im Punkt T ( 1 | 5 | 3 ) dieser Seitenfläche wird ein Lot errichtet.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes U , in dem das Lot die Ebene E schneidet, und zeigen Sie, dass U nicht im Innern des Quadrats A B C D liegt.
 
Lösung zu Teilaufgabe 2c

Lotfußpunkt auf eine Ebene





F : 2 x 1 - x 3 + 1 = 0

n F = ( 2 0 - 1 ) Normalenvektor der Ebene F

T ( 1 | 5 | 3 )

Gleichung der Lotgerade aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
l : x = ( 1 5 3 ) + σ ( 2 0 - 1 )
Schnitt Ebene und Gerade



E A B D : x ( 2 2 1 ) = 9 (siehe Teilaufgabe 1a)

Gesucht ist l E A B D :
Schritt einblenden / ausblenden
[ ( 1 5 3 ) + σ ( 2 0 - 1 ) ] ( 2 2 1 ) = 9
( 1 + 2 σ ) 2 + ( 5 + 0 σ ) 2 + ( 3 - σ ) 1 = 9

2 + 4 σ + 10 + 3 - σ = 9

3 σ = - 6

σ = - 2

σ = - 2 in die Geradengleichung einsetzen:

O U = ( 1 5 3 ) - 2 ( 2 0 - 1 ) = ( - 3 5 5 )

Das Lot l schneidet die Ebene E A B D im Punkt U ( - 3 | 5 | 5 ) .
Lage eines Punktes



Parameterform der Ebene E A B D (siehe Teilaufgabe 1a):
Schritt einblenden / ausblenden
x = ( 1 2 3 ) + ρ ( 4 - 2 - 4 ) + τ ( - 2 4 - 4 )

Da U E A B D gilt:

( - 3 5 5 ) = ( 1 2 3 ) + ρ ( 4 - 2 - 4 ) + τ ( - 2 4 - 4 )



α und β bestimmen:

( I ) ( I I ) ( I I I ) - 3 = 1 + 4 ρ - 2 τ 5 = 2 - 2 ρ + 4 τ 5 = 3 - 4 ρ - 4 τ


Gleichung (I) durch 2 teilen

( I ) ( I I ) ( I I I ) - 2 = 2 ρ - τ 3 = - 2 ρ + 4 τ 2 = - 4 ρ - 4 τ

Gleichung (I) zur Gleichung (II) addieren


1 = 3 τ τ = 1 3

τ in Gleichung (II) einsetzen:

3 = - 2 ρ + 4 1 3 5 3 = - 2 ρ ρ = - 5 6
Schritt einblenden / ausblenden
Der Punkt U liegt nicht im Inneren des Quadrates.

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