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Abitur 2008 Mathematik LK Analytische Geometrie V

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des ℝ 3 die Punkte A ( 1 | 2 | 3 ) , B ( 5 | 0 | - 1 ) und D ( - 1 | 6 | - 1 ) sowie S t ( 1 - t | 8 | t ) mit t ∈ ℝ ∖ { 9 } als Parameter.
Teilaufgabe 1a  (5 BE)

Zeigen Sie, dass die Punkte A , B und D eine Ebene E bestimmen, und ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.

[Zur Kontrolle: E : 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 - 9 = 0 ]

Teilaufgabe 1b  (4 BE)

Weisen Sie nach, dass sich die Punkte A , B und D durch einen vierten Punkt C zu einem Quadrat A B C D ergänzen lassen, und berechnen Sie den Diagonalenschnittpunkt M dieses Quadrats.

[Teilergebnis: M ( 2 | 3 | - 1 ) ]

Teilaufgabe 1c  (5 BE)

Für welchen Wert von t ist die Entfernung von S t zu M minimal?

Das Quadrat A B C D als Begrenzungsfläche und die Strecke [ D S t ] als Seitenkante bestimmen ein Parallelflach.
Teilaufgabe 2a  (6 BE)

Berechnen Sie alle Werte von t , für die das Parallelflach den Rauminhalt V = 144 hat.

Teilaufgabe 2b  (3 BE)

Bestimmen Sie t so, dass das Parallelflach ein Quader ist.

Nun sei t = 1 . Die durch die Punkte A , D und S 1 festgelegte
Seitenfläche des Parallelflachs liegt in der Ebene F : 2 x 1 - x 3 + 1 = 0 .
Teilaufgabe 2c  (7 BE)

Im Punkt T ( 1 | 5 | 3 ) dieser Seitenfläche wird ein Lot errichtet.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes U , in dem das Lot die Ebene E schneidet, und zeigen Sie, dass U nicht im Innern des Quadrats A B C D liegt.

Teilaufgabe 2d  (3 BE)

Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Ebenen E und F .

Teilaufgabe 3  (7 BE)

K sei die Kugel, die den Punkt M aus Teilaufgabe 1b als Mittelpunkt und den Radius r = 3 hat. Sie wird durch eine zentrische Streckung mit A als Zentrum und dem Streckungsfaktor - 2 auf die Kugel K ′ abgebildet.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M ′ von K ′ sowie den maximalen Abstand, den zwei Punkte P und P ′ haben können, wenn P auf K und P ′ auf K ′ liegt.

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