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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe 2a  (4 BE)
Unmittelbar nach der einmaligen, kurzzeitigen Einleitung von Abwasser in einen See kommt es zu einem Absinken des Sauerstoffgehalts im See. Da die Abwasserbelastung nicht zu hoch ist, führt die Selbstreinigung des Sees schließlich wieder zu einer Erhöhung des Sauerstoffgehalts.
Die Funktion h : x ↦ 8 - f ( x ) , D h = ℝ 0 + , beschreibt näherungsweise den Sauerstoffgehalt des Sees an der Einleitungsstelle. Dabei ist x die Anzahl der seit Einleitung des Abwassers vergangenen Tage, h ( x ) die Maßzahl des Sauerstoffgehalts in mg l .
Die Abbildung veranschaulicht den Verlauf des Graphen von h .
Beschreiben Sie, wie der Graph von h aus dem Graphen von f hervorgeht. Nach wie vielen Tagen erreicht der Sauerstoffgehalt seinen kleinsten Wert und wie hoch ist dieser?
 
Lösung zu Teilaufgabe 2a

Erläuterungen zum Entstehen der Funktionsgraphen



f ( x ) = 8 ⋅ x x 2 + 4 , D f ∈ ℝ

h ( x ) = 8 - f ( x ) , D h = ℝ 0 +
Schritt einblenden / ausblenden
G h entsteht durch Spiegelung von G f an der x -Achse ( G - f )und anschließender Verschiebung von G - f entlang der y -Achse um 8 Einheiten nach oben.
Art von Extrempunkten ermitteln



Erste Ableitung bilden:

h ′ ( x ) = [ 8 - f ( x ) ] ′ = 0 - f ′ ( x )

Erste Ableitung gleich Null setzen:

h ′ ( x ) = - f ′ ( x ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ x E = 2 Minimum (siehe Teilaufgabe 1b)

⇒ y E = h ( x E ) = h ( 2 ) = 8 - f ( 2 ) = 8 - 8 ⋅ 2 2 2 + 4 = 6

Der Sauerstoffgehalt erreicht seinen kleinsten Wert (6 mg/l) nach 2 Tagen.


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