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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I


 
Teilaufgabe 1b  (7 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art der Extrempunkte von G f .

[Teilergebnis: Hochpunkt ( 2 | 2 ) ]
 
Lösung zu Teilaufgabe 1b

Art von Extrempunkten ermitteln



f ( x ) = 8 ⋅ x x 2 + 4 , D f ∈ ℝ

Erste Ableitung bilden:

f ′ ( x ) = ( 8 ⋅ x x 2 + 4 ) ′
Schritt einblenden / ausblenden
= 8 ⋅ ( x x 2 + 4 ) ′
Schritt einblenden / ausblenden
= 8 ⋅ 1 ⋅ ( x 2 + 4 ) - x ⋅ ( 2 x ) ( x 2 + 4 ) 2

= 8 ⋅ 4 - x 2 ( x 2 + 4 ) 2
Erste Ableitung Null setzen:

f ′ ( x ) = 0

8 ⋅ 4 - x 2 ( x 2 + 4 ) 2 = 0
Schritt einblenden / ausblenden
4 - x 2 = 0

4 = x 2

⇒ x 1 , 2 E = ± 2
Schritt einblenden / ausblenden
Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen:

f ′ ( x ) > 0

8 ⋅ 4 - x 2 ( x 2 + 4 ) 2 ︸ > 0 > 0
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ 4 - x 2 > 0

4 > x 2
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ - 2 < x < 2

Die Funktion ist in diesem Bereich streng monoton steigend.


f ′ ( x ) < 0

8 ⋅ 4 - x 2 ( x 2 + 4 ) 2 ︸ > 0 < 0
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ 4 - x 2 < 0

4 < x 2
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ x ∈ ( - ∞ ; - 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ )

Die Funktion ist in diesem Bereich streng monoton fallend.
Schritt einblenden / ausblenden
Die Funktion hat ein Minimum bei x = - 2 und ein Maximum bei x = 2 .
Lage von Extrempunkten ermitteln



y -Koordinate der Extrempunkte bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
y 1 , 2 E = f ( x 1 , 2 E ) = f ( ± 2 ) = 8 ⋅ ± 2 ( ± 2 ) 2 + 4 = ± 2

⇒ E 1 ( 2 | 2 ) , E 2 ( - 2 | - 2 )

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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