Teilaufgabe 1b (7 BE)
Bestimmen Sie Lage und Art der Extrempunkte von .
[Teilergebnis: Hochpunkt ]
Art von Extrempunkten ermitteln
Erste Ableitung bilden:
Konstante
Konstanten dürfen ausgeklammert werden.
Quotientenregel der Differenzialrechnung
In diesem Fall ist
und
.
Erste Ableitung Null setzen:
Bruch gleich Null setzen
Ein Bruch ist nur dann gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.
Bedingungen für ein Extremum
Folgende Bedingungen müssen für ein Extremum erfüllt sein:
und
oder
und Vorzeichenwechsel in
bei
Vorzeichen der ersten Ableitung bestimmen:
Erläuterung
Der Nenner ist für alle
aus dem Definitionsbereich positiv.
Der Bruch ist also nur dann positiv, wenn der Zähler positiv ist.
Funktionswerte ablesen
Die Funktionswerte der Normalparabel
sind kleiner als 4 wenn
zwischen -2 und 2 liegt.
Die Funktion ist in diesem Bereich streng monoton steigend.
Erläuterung
Der Nenner ist für alle
aus dem Definitionsbereich positiv.
Der Bruch ist also nur dann negativ, wenn der Zähler negativ ist.
Funktionswerte ablesen
Die Funktionswerte der Normalparabel
sind größer als 4 wenn
größer als 2 und kleiner als -2 ist.
Die Funktion ist in diesem Bereich streng monoton fallend.
Vorzeichenwechsel
Bei
ist der Vorzeichenwechsel von "
" nach "
".
Bei
ist der Vorzeichenwechsel von "
" nach "
".
Die Funktion hat ein Minimum bei und ein Maximum bei .
Lage von Extrempunkten ermitteln
-Koordinate der Extrempunkte bestimmen:
Einsetzen
Die
-Koordinate des Extrempunktes wird in die Funktionsgleichung eingesetzt.