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Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Stochastik III


 
Teilaufgabe 4a  (6 BE)
Die Polizeianwärter sollen üben, Nachrichten an andere Dienststellen weiterzuleiten. Dazu soll die Nachricht „Die beiden Fingerabdrücke stimmen überein“ von einem Computer zum nächsten und so fort übermittelt werden. Durch einen bewusst eingebauten Übertragungsfehler wird die Meldung bei jeder einzelnen Übermittlung mit einer Wahrscheinlichkeit p in ihr Gegenteil verkehrt; andere Übertragungsfehler treten nicht auf.
Berechnen Sie in Abhängigkeit von p die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Kette aus 4 Übermittlungen der Übertragungsfehler genau zweimal auftritt und die Nachricht somit wieder richtig ankommt. Berechnen Sie den größten Wert, den diese Wahrscheinlichkeit annehmen kann.
 
Lösung zu Teilaufgabe 4a

Binomialverteilung



4 Übermittlungen zwei Signalumkehrungen:
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P p 4 ( Z = 2 ) = ( 4 2 ) · p 2 · ( 1 - p ) 2 = 6 p 2 · ( 1 - p ) 2 = f ( p )

Maximale Wahrscheinlichkeit:
Schritt einblenden / ausblenden
f ' ( p ) = 6 · [ 2 p · ( 1 - p ) 2 + p 2 · 2 ( 1 - p ) · ( - 1 ) ]

= 12 p · ( 1 - p ) · [ 1 - p - p ]

f ' ( p ) = 0

12 p · ( 1 - p ) · [ 1 - 2 p ] = 0
Schritt einblenden / ausblenden
Lösungen:p1 =0,p2 =1 und p3 =0,5
Schritt einblenden / ausblenden
P 0 , 5 4 ( Z = 2 ) = 6 · 0 , 5 2 · ( 1 - 0 , 5 ) 2 37 , 5 %

Die maximale Wahrscheinlichkeit für zwei Übertragungsfehler nach vier Übertragungen beträgt 37,5% bei p=0,5.

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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