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Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Stochastik III


 
Teilaufgabe 4d  (5 BE)
Zeigen Sie allgemein, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für
p = 0,5 bei einer Kette beliebiger Länge die Nachricht richtig ankommt, stets 0,5 beträgt.
Die allgemein gültige Beziehung aus Teilaufgabe 4c darf verwendet werden.
 
Lösung zu Teilaufgabe 4d

Binomialverteilung



Wahrscheinlichkeit für eine gerade Anzahl an Übermittlungsfehlern bei n Übertragungen:

P 0 , 5 n = ( n 0 ) · ( 0 , 5 ) 0 · ( 0 , 5 ) n + ( n 2 ) · ( 0 , 5 ) 2 · ( 0 , 5 ) n - 2 + ... + ( n 2 k ) · ( 0 , 5 ) 2 k · ( 0 , 5 ) n - 2 k
Schritt einblenden / ausblenden
    = [ ( n 0 ) + ( n 2 ) + ... + ( n 2 k ) ] · ( 0 , 5 ) n

    = [ i = 0 k ( n 2 i ) ] · ( 0 , 5 ) n
   
    = 2 n - 1 · ( 0 , 5 ) n
   
    = 2 n - 1 · 2 - n

    = 2 - 1
   
   =0,5

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,5 für eine beliebige Anzahl n von Übertragungen.

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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