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Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe Teil B d  (4 BE)
Im Zelt ist eine Lichtquelle so aufgehängt, dass sie von jeder der vier Wände einen Abstand von 50  cm hat. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, der im Modell die Lichtquelle darstellt.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Geradengleichung aufstellen



Schritt einblenden / ausblenden
Gerade l durch S parallel zur x 3 -Achse aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
l : X = ( 2 , 5 2 , 5 6 ) S + λ ( 0 0 1 )

l : X = ( 2 , 5 2 , 5 6 + λ )
Abstand Punkt - Ebene



E : 12 x 2 + 5 x 3 - 60 = 0

n E = ( 0 12 5 ) Normalenvektor der Ebene

| n E | = | ( 0 12 5 ) | = 0 + 12 2 + 5 2 = 169 = 13


Hesse-Normalenform E HNF der Ebene aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
E HNF : 1 13 ( 12 x 2 + 5 x 3 - 60 ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
Abstand Ebene zu Geradenpunkt gleich 0,5 setzen:
Schritt einblenden / ausblenden
| 1 13 ( 12 2 , 5 + 5 ( 6 + λ ) - 60 ) | = 0 , 5

| 1 13 ( 30 + 30 + 5 λ - 60 ) | = 0 , 5

| 1 13 5 λ | = 0 , 5

| λ | = 0 , 5 13 1 5 = 1 , 3

λ = ± 1 , 3


Koordinaten der Lichtquelle bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
L = ( 2 , 5 2 , 5 6 ) - 1 , 3 ( 0 0 1 )

L ( 2 , 5 | 2 , 5 | 4 , 7 )
Alternative Lösung



Abstand zur Ebene F :

F : 12 x 1 - 5 x 3 = 0

n F = ( 12 0 - 5 ) Normalenvektor der Ebene F

| n F | = 13

Hesse-Normalenform F HNF der Ebene aufstellen:

F HNF : 1 13 ( 12 x 1 - 5 x 3 ) = 0

Abstand Ebene zu Geradenpunkt gleich 0,5 setzen:

| 1 13 ( 12 2 , 5 - 5 ( 6 + λ ) ) | = 0 , 5

| 1 13 ( 30 - 30 - 5 λ ) | = 0 , 5

| - 1 13 5 λ | = 0 , 5

| - λ | = 0 , 5 13 1 5 = 1 , 3

λ = ± 1 , 3


Koordinaten der Lichtquelle bestimmen, indem λ in die Geradengleichung eingesetzt wird (vgl. vorherige Lösung).

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