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Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe Teil B b  (3 BE)
In der Stadt, in der das Einfamilienhaus steht, gilt für die Errichtung von Dachgauben eine Satzung, die jeder Bauherr einhalten muss. Diese Satzung lässt die Errichtung einer Dachgaube zu, wenn die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche des jeweiligen Hausdachs gegen die Horizontale mindestens 35 beträgt. Zeigen Sie rechnerisch, dass für das betrachtete Einfamilienhaus die Errichtung einer Dachgaube zulässig ist.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Winkel zwischen zwei Vektoren





Aus dem Bild der Angabe sind die Koordinaten der Punkte zu entnehmen:
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C ( 8 | 10 | 5 ) ; D ( 0 | 10 | 5 )
Vektoren C H und C D bestimmen:

C H = ( - 4 0 3 ) (s. Teil B Aufgabe a)

C D = D - C = ( 0 10 5 ) - ( 8 10 5 ) = ( - 8 0 0 )
Winkel α zwischen den Vektoren C H und C D bestimmen:
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cos α = ( - 4 0 3 ) ( - 8 0 0 ) | ( - 4 0 3 ) | | ( - 8 0 0 ) |
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cos α = 32 + 0 + 0 25 64 = 32 40 = 4 5

α = cos - 1 4 5 36 , 87
Winkel zwischen zwei Ebenen



Alternative Lösung
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B ( 8 | 0 | 5 ) ; C ( 8 | 10 | 5 )
C H = ( - 4 0 3 )

B C = C - B = ( 8 10 5 ) - ( 8 0 5 ) = ( 0 10 0 )
Normalenvektor n E der Ebene E B C H G bestimmen:
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B C × C H = ( 0 10 0 ) × ( - 4 0 3 ) = ( 30 0 40 )
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n E = 1 10 ( 30 0 40 ) = ( 3 0 4 )
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Normalenvektor der x 1 x 2 -Ebene: n = ( 0 0 1 )
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Winkel α zwischen den Normalenvektoren der Ebene E B C H G und der x 1 x 2 -Ebene bestimmen:
cos α = ( 3 0 4 ) ( 0 0 1 ) | ( 3 0 4 ) | | ( 0 0 1 ) |
cos α = 0 + 0 + 4 25 1

cos α = 4 5

α = cos - 1 4 5 36 , 87

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