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Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe Teil B c  (5 BE)
Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene E : 3 x 1 + 4 x 3 - 44 = 0 .

Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke [ H C ] dargestellt wird, den Abstand 2 m und vom First des Dachs den Abstand 1 m hat. Zur Ermittlung der Koordinaten des Punkts M wird die durch den Punkt T ( 4 | 8 | 8 ) verlaufende Gerade t : X = ( 4 8 8 ) + λ ( 4 0 - 3 ) , λ , betrachtet.
Begründen Sie, dass t in der Ebene E verläuft und von der Geraden H C den Abstand 2 besitzt.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Lagebeziehung Gerade und Ebene



E : 3 x 1 + 4 x 3 - 44 = 0 n E = ( 3 0 4 )

t : X = ( 4 8 8 ) + λ ( 4 0 - 3 ) R V , λ



Skalarprodukt zwischen Normalenvektor der Ebene E und Richtungsvektor R V der Geraden t bilden:
Schritt einblenden / ausblenden
n E R V = ( 3 0 4 ) ( 4 0 - 3 ) = 12 + 0 - 12 = 0 n E R V
Da der Normalenvektor der Ebene E senkrecht auf den Richtungsvektor der Geraden t steht und die Gerade durch den Punkt T (der in der Ebene E liegt) verläuft, verläuft t in der Ebene E .
Alternative Lösung



Ebene E und Gerade t schneiden: E t
Schritt einblenden / ausblenden
E t : 3 ( 4 + 4 λ ) + 4 ( 8 - 3 λ ) - 44 = 0 12 + 12 λ + 32 - 12 λ - 44 = 0 0 = 0
Schritt einblenden / ausblenden
t ist in E enthalten ( t E )
Abstand paralleler Geraden



Richtungsvektoren der Geraden t und H C vergleichen:
Schritt einblenden / ausblenden
R V t = H C = ( 4 0 - 3 ) t H C
Da die Punkte T und H auf der Geraden G H liegen, gilt für den Abstand der parallelen Geraden t und H C :
d ( t , H C ) = | H T | = | T - H | = | ( 4 8 8 ) - ( 4 10 8 ) | = | ( 0 - 2 0 ) | = 0 + 4 + 0 = 2
Alternative Lösung



d ( t , H C ) = d ( T , H C )
Schritt einblenden / ausblenden
Abstand von T zu H C bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
Hilfsebene E durch H senkrecht zu H C aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
E : ( 4 0 - 3 ) H C X = ( 4 0 - 3 ) ( 4 10 8 ) H

E : 4 x 1 - 3 x 3 = 16 + 0 - 24

E : 4 x 1 - 3 x 3 + 8 = 0

Hilfsebene E und Gerade t schneiden: E t
Schritt einblenden / ausblenden
E t : 4 ( 4 + 4 λ ) - 3 ( 8 - 3 λ ) + 8 = 0 16 + 16 λ - 24 + 9 λ + 8 = 0 = 0 25 λ = 0 λ = 0
λ = 0 in t einsetzen und Schnittpunkt F bestimmen:

F = ( 4 8 8 ) + 0 ( 4 0 - 3 ) = ( 4 8 8 )

F ( 4 | 8 | 8 )

Der Schnittpunkt F ist gleich dem Punkt T .
Schritt einblenden / ausblenden
d ( t , H ) = d ( T ; H ) = | T H | = | ( 0 2 0 ) | = 0 + 4 + 0 = 2