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Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe g  (5 BE)
Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinab. Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt M aus parallel zur Kante [ C B ] auf einer Geraden g . Geben Sie eine Gleichung von g an und berechnen Sie im Modell die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die x 1 x 2 -Ebene berührt.
 
Lösung zu Teilaufgabe g

Geradengleichung aufstellen



Schritt einblenden / ausblenden
C B = B - C = ( 10 8 0 ) - ( 10 4 3 ) = ( 0 4 - 3 )
g : X = ( 5 6 , 5 3 ) + λ ( 0 4 - 3 ) C B
Lagebeziehung Ebene und Kugel



Sei M der Kugelmittelpunkt, wenn die Kugel die x 1 x 2 -Ebene berührt.
Schritt einblenden / ausblenden
M ( 5 | 6 , 5 + 4 λ | 3 - 3 λ )
Schritt einblenden / ausblenden
3 - 3 λ = 1 , 5

λ = 0 , 5

M ( 5 | 8 , 5 | 1 , 5 )
Länge eines Vektors



Länge des Weges bestimmen:

M M = M - M = ( 5 8 , 5 1 , 5 ) - ( 5 6 , 5 3 ) = ( 0 2 - 1 , 5 )
Schritt einblenden / ausblenden
M M ¯ = | M M | = | ( 0 2 - 1 , 5 ) | = 0 + 2 2 + ( - 1 , 5 ) 2 = 6 , 25 = 2 , 5

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