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Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe a  (6 BE)
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A ( 10 | 2 | 0 ) , B ( 10 | 8 | 0 ) , C ( 10 | 4 | 3 ) , R ( 2 | 2 | 0 ) , S ( 2 | 8 | 0 ) und T ( 2 | 4 | 3 | ) gegeben.
Der Körper A B C R S T ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grundfläche A B C , der Deckfläche R S T und rechteckigen Seitenflächen.
Zeichnen Sie das Prisma in ein kartesisches Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Grundfläche A B C ? Berechnen Sie das Volumen des Prismas.
 
Lösung zu Teilaufgabe a

Skizze



Besondere Lage im Koordinatensystem



Die Grundfläche A B C ist parallel zur x 2 x 3 -Ebene bzw. steht senkrecht auf der x 1 x 2 -Ebene.
Schritt einblenden / ausblenden
Flächeninhalt eines Dreiecks



Vektoren A B und A C bestimmen:

A B = B - A = ( 10 8 0 ) - ( 10 2 0 ) = ( 0 6 0 )

A C = C - A = ( 10 4 3 ) - ( 10 2 0 ) = ( 0 2 3 )


Flächeninhalt A A B C des Dreiecks A B C (Grundfläche des Prismas) bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
A A B C = 1 2 | A B × A C |
Schritt einblenden / ausblenden
A A B C = 1 2 | ( 0 6 0 ) × ( 0 2 3 ) |
Schritt einblenden / ausblenden
A A B C = 1 2 | ( 18 0 0 ) | = 1 2 18 2 + 0 + 0 = 9
Volumen eines Prismas



Höhe [ A R ] des Prismas bestimmen:

A R = R - A = ( 2 2 0 ) - ( 10 2 0 ) = ( - 8 0 0 )

h = A R ¯ = | A R | = | ( - 8 0 0 ) | = ( - 8 ) 2 + 0 + 0 = 8


Volumen des Prismas bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
V = G h = A A B C A R ¯ = 9 8 = 72

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