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Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik Analytische Geometrie VI


 
Teilaufgabe f  (6 BE)
Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die x 1 x 2 -Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt M ( 5 | 6 , 5 | 3 ) ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche B S T C im Punkt W berührt.
Berechnen Sie den Radius r der Kugel sowie die Koordinaten von W .

(Teilergebnis: r = 1 , 5 )

 
Lösung zu Teilaufgabe f

Lotfußpunkt auf eine Ebene



Schritt einblenden / ausblenden
Lotgerade l durch M und senkrecht zu E : 3 x 2 + 4 x 3 = 24 aufstellen:
Schritt einblenden / ausblenden
l : X = ( 5 6 , 5 3 ) + μ ( 0 3 4 ) n E


Lotgerade l mit Ebene E schneiden: l E
Schritt einblenden / ausblenden
3 ( 6 , 5 + 3 μ ) + 4 ( 3 + 4 μ ) = 24

19 , 5 + 9 μ + 12 + 16 μ = 24

25 μ = - 7 , 5

μ = - 0 , 3


μ = - 0 , 3 in l einsetzen und Lotfußpunkt W bestimmen:
W = ( 5 6 , 5 3 ) - 0 , 3 ( 0 3 4 ) = ( 5 5 , 6 1 , 8 )

W ( 5 | 5 , 6 | 1 , 8 )
Länge eines Vektors



Radius r bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
r = M W ¯ = | M W | = | W - M |

r = | ( 5 5 , 6 1 , 8 ) - ( 5 6 , 5 3 ) | = | ( 0 - 0 , 9 - 1 , 2 ) |
Schritt einblenden / ausblenden
r = 0 + ( - 0 , 9 ) 2 + ( - 1 , 2 ) 2 = 2 , 25 = 1 , 5
Alternative Lösung



Berechnung des Radius ohne Punkt W :


Hesse-Normalenform der Ebene E :
Schritt einblenden / ausblenden
| n E | = | ( 0 3 4 ) | = 0 + 3 2 + 4 2 = 5

E H N F : 1 5 ( 3 x 2 + 4 x 3 - 24 ) = 0


Abstand Punkt M zur Ebene E :
Schritt einblenden / ausblenden
r = d ( M ; E ) = 1 5 ( 3 6 , 5 + 4 3 - 24 ) = 1 , 5

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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