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Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe Teil 2 3a  (5 BE)
Gegeben ist die Schar der Funktionen f a : x 6 e - 0 , 5 x - a x mit a + und Definitionsmenge .
Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die y -Achse im selben Punkt schneiden und in streng monoton fallend sind. Zeigen Sie, dass lim x + f a ( x ) = - gilt.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil 2 3a

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen



y -Achsenabschnitt bestimmen:

f a ( 0 ) = 6 e - 0 , 5 0 1 - a 0 = 6

Der y -Achsenabschnitt ist unabhängig von a . Alle Funktionen der Schar schneiden somit die y -Achse im selben Punkt.
Monotonieverhalten einer Funktion



Erste Ableitung bilden:

f ( x ) = - 3 e - 0 , 5 x - a


Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:

f ( x ) = - 3 e - 0 , 5 x > 0 < 0 - a < 0 < 0
Schritt einblenden / ausblenden
streng monoton fallend für alle a +
Grenzwert bestimmen



lim x + f a ( x ) = lim x + 6 e - 0 , 5 x 0 - a x - = -