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Abitur 2011 G8 Abitur Mathematik Infinitesimalrechnung II

Skizzieren Sie den Graphen der in definierten Funktion f : x 4 - x 2 .
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von f mit der x -Achse einschließt.

Geben Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion f : x 3 x an und bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von f , deren Graph den Punkt P ( 1 | 4 ) enthält.

Betrachtet wird die Funktion f : x sin x x 2 mit Definitionsmenge { 0 } .
Geben Sie die Nullstellen von f an.

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und geben Sie den Grenzwert von f für x + an.

Bestimmen Sie den Term der Ableitung von f .

Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion f mit Definitionsmenge { - 1 } an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung y = 2 als Asymptote besitzt und in x = - 1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.

Gegeben ist die in definierte Funktion f : x 6 e - 0 , 5 x + x . Der Graph von f wird mit G f bezeichnet.
Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von G f . Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts E ( x E | y E ) von G f .

(zur Kontrolle: x E = 2 ln 3 ; f ( x ) = 1 , 5 e - 0 , 5 x )



Geben Sie das Verhalten von f für x - an. Machen Sie plausibel, dass G f für x + die Gerade mit der Gleichung y = x als schräge Asymptote besitzt.

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an G f im Punkt ( 0 | 6 ) .
Skizzieren Sie G f unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet anzulegendes Koordinatensystem.

Gegeben ist die in definierte Funktion h : x 6 e - 0 , 5 x + 1 , 5 .
Die Abbildung zeigt den in streng monoton fallenden Graphen G h von h sowie dessen Asymptote, die durch die Gleichung y = 1 , 5 gegeben ist.

Beschreiben Sie, wie G h aus dem Graphen der in definierten natürlichen Exponentialfunktion x e x hervorgeht.

Für x 0 beschreibt die Funktion h modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffausstoßes einer Maschine. Dabei ist x die seit dem Start der Maschine vergangene Zeit in Minuten und h ( x ) die momentane Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute.
Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monotonieverhaltens von G h sowie des Grenzwerts von h für x + an.

Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das G h , die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x = 5 einschließen. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Gegeben ist die Schar der Funktionen f a : x 6 e - 0 , 5 x - a x mit a + und Definitionsmenge .
Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die y -Achse im selben Punkt schneiden und in streng monoton fallend sind. Zeigen Sie, dass lim x + f a ( x ) = - gilt.

Aus den Ergebnissen der Aufgabe 3a ergibt sich, dass jede Funktion der Schar genau eine Nullstelle besitzt. Bestimmen Sie für diese Nullstelle in Abhängigkeit von a einen Näherungswert x 1 , indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x 0 = 0 durchführen.