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Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Stochastik IV


 
Teilaufgabe 3c  (4 BE)
Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussage: "Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der kleiner als ihr Erwartungswert ist, beträgt höchstens 50 % ."
 
Lösung zu Teilaufgabe 3c

Binomialverteilung



Die Aussage ist falsch.

Begründung über Gegenbeispiele (eins reicht jedoch aus):


Beispiel 1

Sei n = 1 und p = 0 , 1 .

⇒ Erwartungswert E ( Z ) = n ⋅ p = 0 , 1

Zufallsvariable soll kleiner sein als der Erwartungswert: Z < E ( Z )

⇒ Z = 0

Wahrscheinlichkeit bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
P 0 , 1 1 ( Z = 0 ) = ( 1 0 ) ⋅ 0 , 1 0 ⋅ 0 , 9 1 = 0 , 9 > 0 , 5

⇒ Aussage ist falsch.





Beispiel 2

Sei n = 5 und p = 0 , 1 .

⇒ Erwartungswert E ( Z ) = n ⋅ p = 0 , 5

Zufallsvariable soll kleiner sein als der Erwartungswert: Z < E ( Z )

⇒ Z = 0

Wahrscheinlichkeit bestimmen:
P 0 , 1 5 ( Z = 0 ) = ( 5 0 ) ⋅ 0 , 1 0 ⋅ 0 , 9 5 = 0 , 59049 > 0 , 5

⇒ Aussage ist falsch.

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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