Abitur 2011 Mathematik Stochastik IV Aufgabe 3b

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Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (3 BE)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Unternehmen, die ein graphologisches Gutachten einholen, kleiner als der zugehörige Erwartungswert ist.

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Angaben aus der vorherigen Teilaufgabe:

n = 20

p = 0, 25

Erwartungswert bestimmen:

E (Z) = μ = n \cdot p = 20 \cdot 0, 25 = 5

Binomialverteilung

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Die Wahrscheinlichkeit soll kleiner als der Erwartungswert sein, also

Z < 5

bzw.

Z \leq 4

.

Wahrscheinlichkeit bestimmen:

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

P_{0, 25}^{20} (Z \leq 4) \overset{Tafelwerk}{=} 0, 41484 \approx 41, 5 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Unternehemen, die ein graphologisches Gutachten einholen, kleiner ist als der zugehörige Erwartungswert, beträgt ca.