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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Stochastik IV


 
Teilaufgabe 2a  (5 BE)
Es gibt zwei Typen A und B von Jumbo-Verkaufspackungen, die jeweils gut gemischt Tausende von Bausteinen enthalten; diese unterscheiden sich nur in ihrer Farbe. Bei Typ A ist jeder fünfte, bei Typ B jeder dritte Baustein gelb.
Bei einer gelieferten Jumbo-Verkaufspackung ist der Aufkleber mit der Typenbezeichnung verloren gegangen. Durch zufällige Entnahme von 25 Bausteinen soll entschieden werden, um welchen Typ es sich handelt.
Verwenden Sie im Folgenden das Modell "Ziehen mit Zurücklegen".
Geben Sie die Entscheidungsregel an, bei der die beiden Wahrscheinlichkeiten, sich irrtümlich für einen falschen Typ zu entscheiden, möglichst nahe beieinander liegen. Wie groß sind in diesem Fall die beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten?
 
Lösung zu Teilaufgabe 2a

Hypothesentest - Fehler erster Art



Daten aus der Aufgabenstellung analysieren:

(Hypothese) Typ A : Jeder fünfte Baustein ist gelb.
p A = 1 5

(Alternative) Typ B : Jeder dritte Baustein ist gelb.
p B = 1 3

n = 25 Anzahl der Züge (Ziehen mit Zurücklegen)



Entscheidungsregel:
Schritt einblenden / ausblenden
Fehler erster Art ( A wird irrtümlich abgelehnt):
Schritt einblenden / ausblenden
P 1 5 25 ( Z k + 1 ) = 1 - P 1 5 25 ( Z k )
Hypothesentest - Fehler zweiter Art



Fehler zweiter Art ( B wird irrtümlich abgelehnt):
Schritt einblenden / ausblenden
P 1 3 25 ( Z k )



Die Irrtumswahrscheinlichkeiten sollen möglichst nahe beieinander liegen:

P 1 3 25 ( Z k ) 1 - P 1 5 25 ( Z k )

P 1 3 25 ( Z k ) + P 1 5 25 ( Z k ) 1
Schritt einblenden / ausblenden
k = 6 (Wert wird im Tafelwerk abgelesen)


Die Entscheidungsregel lautet somit:


Die Irrtumswahrscheinlichkeiten lauten somit:

P 1 3 25 ( Z 6 ) = 0 , 22154 22 , 2 %

P 1 5 25 ( Z 7 ) = 1 - P 1 5 25 ( Z 6 ) = 1 - 0 , 78004 22 , 0 %

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