Teilaufgabe 1d (7 BE)
Es werden zufällig 16 Bausteine aus der Kiste entnommen. Die beiden Säulendiagramme zeigen die Wahrscheinlichkeiten, dabei
gelbe Steine zu erhalten. Das linke Diagramm zeigt die zugehörige Binomialverteilung, das rechte ergibt sich bei Näherung durch die Normalverteilung.
Prüfen Sie, ob das Kriterium für eine brauchbare Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung erfüllt ist (vgl. Formelsammlung). Zeigen Sie rechnerisch, dass es einen Wert für gibt, bei dem die in den Diagrammen dargestellten Wahrscheinlichkeiten und um mehr als 2 Prozentpunkte voneinander abweichen.
Standardabweichung einer Zufallsgröße
(gelb) (siehe Teilaufgabe 1a)
Erwartungswert bestimmen:
Varianz bestimmen:
Standardabweichung bestimmen:
Keine Normalverteilung möglich.
Binomialverteilung
Wähle .
Binomialverteilung:
Bernoulli-Formel
Die Wahrscheinlichkeit genau
Treffer bei
Versuchen zu erzielen beträgt:
Dabei ist:
Anzahl der Versuche
Anzahl der Treffer
Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch
Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch
Normalverteilung
Normalverteilung als Approximation der Binomialverteilung:
Lokale Näherung
Für große
gilt:
Dabei ist
die Gaußsche Dichtefunktion.
(Wert wird aus den Quantilen des stochastischen Tafelwerks entnommen)
Differenz:
Für weichen die Wahrscheinlichkeiten und um mehr als 2 Prozentpunkte voneinander ab.