Gegeben ist die Schar der Funktionen mit und Definitionsmenge . Der Graph von wird mit
bezeichnet.
Untersuchen Sie auf Symmetrie, bestimmen Sie die Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.
Zeigen Sie, dass genau einen Extrempunkt besitzt, und bestimmen Sie dessen Lage und Art in Abhängigkeit von .
Wählen Sie zwei Scharparameter und so, dass sich die zugehörigen Graphen in der Art ihres Extrempunkts unterscheiden. Skizzieren Sie und unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.
Die Abbildung zeigt den Graphen einer in definierten, stetigen Funktion . ist punktsymmetrisch zum einzigen Schnittpunkt mit der -Achse. Die Extrempunkte von sind und .
Die Funktion
mit
ist eine Integralfunktion von
.
Geben Sie Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von an.
Begründen Sie, dass genau zwei Nullstellen hat, und geben Sie diese an.
Begründen Sie, dass für gilt: .
Welche Bedeutung hat diese Beziehung für den Graphen der Integralfunktion ?
Für die Abschätzung des Risikos von Meteoriteneinschlägen auf der Erde spielt die folgende Funktionenschar eine zentrale Rolle:
gibt die Wartezeit bis zum ersten Einschlag in Jahren an. ist ein von der Meteoritengröße abhängiger Parameter. Für einen Zeitpunkt entspricht der Inhalt der schraffierten Fläche (vgl. Skizze) der Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt der erste Meteoriteneinschlag erfolgt ist. |  |
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bis zum Zeitpunkt der erste Einschlag erfolgt ist.
Berechnen Sie die mittlere Wartezeit (in Jahren) bis zum ersten Einschlag, die durch gegeben ist.