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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 3b  (5 BE)
Berechnen Sie die mittlere Wartezeit T ¯ (in Jahren) bis zum ersten Einschlag, die durch T ¯ = 0 t φ λ ( t ) d t gegeben ist.
 
Lösung zu Teilaufgabe 3b

Uneigentliches Integral



φ λ ( t ) = λ e - λ t , t 0 , λ > 0

T ¯ = 0 t φ λ ( t ) d t

= 0 t λ e - λ t d t
Schritt einblenden / ausblenden
= lim b ( 0 b t λ e - λ t d t ) T
Nebenrechnung:
Schritt einblenden / ausblenden
e - λ t d t = - 1 λ e - λ t
Bestimmtes Integral T mit partieller Integration bestimmen:

T = 0 b t λ e - λ t d t
Schritt einblenden / ausblenden
= λ 0 b t e - λ t d t
Schritt einblenden / ausblenden
= λ { [ t ( - 1 λ ) e - λ t ] 0 b - 0 b ( - 1 λ ) e - λ t d t }
Schritt einblenden / ausblenden
= [ - t e - λ t ] 0 b + 0 b e - λ t d t
= [ - t e - λ t ] 0 b + [ ( - 1 λ ) e - λ t ] 0 b
= [ e - λ t ( - t - 1 λ ) ] 0 b
= [ e - λ b ( - b - 1 λ ) ] - [ e - λ 0 = 1 ( - 0 - 1 λ ) ]
= e - λ b ( - b - 1 λ ) + 1 λ
Grenzwert bestimmen:

T ¯ = lim b T
Schritt einblenden / ausblenden
= lim b [ e - λ b ( - b - 1 λ ) 0 + 1 λ ] = 1 λ
Bemerkung

Aus der Formelsammlung:

lim x x e x = 0

Angewendet auf diese Aufgabe:

lim b e - λ b ( - b - 1 λ ) = lim b - b - 1 λ e λ b = 0

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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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