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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 2a  (5 BE)
Die Abbildung zeigt den Graphen G f einer in ℝ definierten, stetigen Funktion f . G f ist punktsymmetrisch zum einzigen Schnittpunkt S ( 1 | 0 ) mit der x -Achse. Die Extrempunkte von G f sind ( 0 | - 2 ) und ( 2 | 2 ) .
Die Funktion F : x ↦ ∫ - 2 x f ( t ) d t mit x ∈ ℝ ist eine Integralfunktion von f .

Geben Sie Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von F an.
 
Lösung zu Teilaufgabe 2a

Monotonieverhalten der Integralfunktion



f ( x ) stetige Funktion mit:

- S ( 1 | 0 ) Symmetrie- und Schnittpunkt mit der x -Achse
- ( 0 | - 2 ) Minimum und Schnittpunkt mit der y -Achse
- ( 2 | 2 ) Maximum

F ( x ) = ∫ - 2 x f ( t ) d t Integralfunktion von f
Schritt einblenden / ausblenden
F ′ ( x ) = f ( x )
Schritt einblenden / ausblenden
f ( x ) < 0 für x < 1 ⇒ F ′ ( x ) < 0 für x < 1 f ( x ) = 0 für x S = 1 ⇒ F ′ ( x ) = 0 für x E = 1 f ( x ) > 0 für x > 1 ⇒ F ′ ( x ) > 0 für x > 1



⇒ G F ist streng monoton fallend für x < 1 G F hat ein Minimum an der Stelle x E = 1 G F ist streng monoton steigend für x > 1
Krümmungsverhalten der Integralfunktion



F ′ ( x ) = f ( x )

F ′ ′ ( x ) = f ′ ( x )
Schritt einblenden / ausblenden
F ′ ′ ( x ) = f ′ ( x ) < 0 für x ∈ ] - ∞ ; 0 [ ∪ ] 2 ; ∞ [ ⇒ F ′ ′ ( x ) rechtsgekrümmt F ′ ′ ( x ) = f ′ ( x ) > 0 für x ∈ ] 0 ; 2 [ ⇒ F ′ ′ ( x ) linksgekrümmt F ′ ′ ( x ) = f ′ ( x ) = 0 für x 1 W = 0 und x 2 W = 2 ⇒ x 1 W , x 2 W Wendestellen

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