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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 1a  (6 BE)
Gegeben ist die Schar der Funktionen g k : x x 2 - k x 2 - 1 mit k + { 1 } und Definitionsmenge D = { - 1 ; 1 } . Der Graph von g k wird mit G k
bezeichnet.
Untersuchen Sie G k auf Symmetrie, bestimmen Sie die Schnittpunkte von G k mit den Koordinatenachsen und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1a

Symmetrieverhalten einer Funktion



g k ( x ) = x 2 - k x 2 - 1 mit k + { 1 } , D = { - 1 ; 1 }

Symmetrie bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
g k ( - x ) = ( - x ) 2 - k ( - x ) 2 - 1 = x 2 - k x 2 - 1 = g k ( x )

G k ist achsensymmetrisch zur y -Achse
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen



Schnittpunkt mit der y -Achse:
Schritt einblenden / ausblenden
g k ( 0 ) = 0 2 - k 0 2 - 1 = - k - 1 = k

G k schneidet die y -Achse im Punkt ( 0 | k )
Schnittpunkt mit der x -Achse:
Schritt einblenden / ausblenden
g k ( x ) = 0 x 2 - k x 2 - 1 = 0
Schritt einblenden / ausblenden
x 2 - k = 0

x 2 = k

x 1 , 2 = ± k

G k schneidet die x -Achse im Punkt ( - k | 0 ) und ( k | 0 )
Asymptoten bestimmen



Grenzwert gegen ± :

lim x ± g k ( x ) = lim x ± x 2 - k + x 2 - 1 +

= lim x ± 1 - k x 2 0 1 - 1 x 2 0 = 1

y = 1 ist waagerechte Asymptote
Grenzverhalten an der Definitionslücke x 0 = 1 :
Schritt einblenden / ausblenden
Grenzwert gegen 1 + (Annäherung von rechts an 1 ):

lim x 1 + g k ( x ) = lim x 1 + x 2 - k 1 - k x 2 - 1 0 + = + für k < 1 - für k > 1


Grenzwert gegen 1 - (Annäherung von links an 1 ):

lim x 1 - g k ( x ) = lim x 1 - x 2 - k 1 - k x 2 - 1 0 - = - für k < 1 + für k > 1


x = 1 ist senkrechte Asymptote
Grenzverhalten an der Definitionslücke x 0 = - 1 :
Schritt einblenden / ausblenden
Grenzwert gegen - 1 + (Annäherung von rechts an - 1 ):

lim x - 1 + g k ( x ) = lim x - 1 + x 2 - k 1 - k x 2 - 1 0 - = - für k < 1 + für k > 1


Grenzwert gegen - 1 - (Annäherung von links an - 1 ):

lim x - 1 - g k ( x ) = lim x - 1 - x 2 - k 1 - k x 2 - 1 0 + = + für k < 1 - für k > 1


x = - 1 ist senkrechte Asymptote

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