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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II


 
Teilaufgabe 3a  (3 BE)
Für die Abschätzung des Risikos von Meteoriteneinschlägen auf der Erde spielt die folgende Funktionenschar eine zentrale Rolle:
φ λ : t ↦ λ e - λ t , t ≠ 0 , λ > 0
t gibt die Wartezeit bis zum ersten Einschlag in Jahren an. λ ist ein von der Meteoritengröße abhängiger Parameter.
Für einen Zeitpunkt t 1 > 0 entspricht der Inhalt der schraffierten Fläche (vgl. Skizze) der Wahrscheinlichkeit, dass bis zum Zeitpunkt t 1 der erste Meteoriteneinschlag erfolgt ist.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bis zum Zeitpunkt t 1 = 1 λ der erste Einschlag erfolgt ist.
 
Lösung zu Teilaufgabe 3a

Flächenberechnung



φ λ ( t ) = λ e - λ t , t ≥ 0 , λ > 0

t 1 = 1 λ
Schritt einblenden / ausblenden
W = ∫ 0 t 1 φ λ ( t ) d t

= ∫ 0 1 λ λ e - λ t d t

= λ ⋅ ∫ 0 1 λ e - λ t d t
Schritt einblenden / ausblenden
= λ ⋅ [ ( - 1 λ ) e - λ t ] 0 1 λ

= λ ⋅ [ ( - 1 λ ) e - λ 1 λ - ( - 1 λ ) e - λ ⋅ 0 ︸ = 1 ]

= λ ⋅ [ ( - 1 λ ) e - 1 + 1 λ ]

= - 1 e + 1

≈ 0 , 632

≈ 63 , 2 %


⇒ Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Einschlag bis zum Zeitpunkt t 1 erfolgt, ist gleich 63 , 2 %

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